Kummers teori

I algebraisk talteori giver Kummers teori en beskrivelse af nogle typer feltudvidelser , der består i at tilføje roden af ​​den n . grad til det oprindelige felt fra dets element. Teorien blev udviklet af Ernst Eduard Kummer omkring 1840 i hans arbejde med Fermats sætning .

Forudsat at karakteristikken for feltet p er coprime til n for p > 0, afhænger teoriens hovedpåstand ikke af feltets natur og hører derfor til den generelle algebra.

Kummers teori har en analog til tilfældet n = p (Artin-Schreier-teorien). Rollen som en gruppe (se nedenfor) i dette tilfælde spilles af den additive gruppe af et simpelt underfelt af det oprindelige felt.

Der er også en generalisering af denne teori på grund af E. Witt for det tilfælde , hvor , ved hjælp af Witt vektorerne .

Kummers teori er grundlæggende, for eksempel i klassefeltteori og i forståelsen af ​​abelske udvidelser . Hun udtaler, at givet nok rødder af enhed, kan cykliske forlængelser forstås i form af at udvinde rødder.

Kummers udvidelser

En Kummer-udvidelse  er en udvidelse af feltet L/K (det vil sige en indlejring af feltet K i feltet L ), således at for nogle heltal n > 1 gælder følgende to betingelser:

For eksempel, for n = 2, er den første betingelse altid sand, hvis karakteristikken K ≠ 2. Kummer-udvidelser inkluderer i dette tilfælde kvadratiske forlængelser L = K (√ a ), hvor a i K ikke er et kvadrat. Ved løsning af andengradsligninger har enhver forlængelse af K af grad 2 denne form. Kummer-udvidelsen omfatter i dette tilfælde også biquadratic extensions og mere generelt multisquadra-udvidelser . Med karakteristisk K lig med 2 er der ingen sådanne Kummer-udvidelser.

For n = 3 er der ingen Kummer-udvidelser af grad 3 i det rationelle talfelt Q , fordi der er brug for tre terningrødder af 1, så komplekse tal er nødvendige . Hvis L  er et opdelingsfelt af X 3 − a over Q , hvor a ikke er terningen af ​​et rationelt tal, så indeholder L et underfelt K med tre terningrødder på 1. Det sidste følger af, at hvis α og β er rødder af et kubisk polynomium, skal vi opnå (α/β) 3 =1, som er et adskilleligt polynomium . Således er L/K  en Kummer-udvidelse.

Mere generelt, hvis K indeholder n distinkte n'te rødder af enhed , og karakteristikken af ​​K ikke deler n , danner tilføjelse til K den n'te rod af ethvert element a af K en Kummer-udvidelse (af potensen m , der deler n ).

Som et dekomponeringsfelt af polynomiet X n − a er Kummer-udvidelsen nødvendig i Galois-udvidelsen af ​​den cykliske Galois-gruppe af orden m .

Kummers teori

Kummers teori siger, at givet en primitiv rod af grad n i K dannes enhver cyklisk forlængelse af K af grad n ved at tilføje en rod af grad n .

Hvis K × er en multiplikativ gruppe af ikke-nul elementer af K , svarer cykliske forlængelser af K af grad n til entydigt cykliske undergrupper

det vil sige elementer af K × modulo nte potenser.

Korrespondancen kan skrives som følger: lad en cyklisk undergruppe gives

den tilsvarende udvidelse er givet af formlen

det vil sige ved at forbinde de n'te rødder af elementerne Δ til K.

Omvendt, hvis L er en Kummer-udvidelse for K , så er Δ givet ved

I dette tilfælde er der en isomorfisme

givet af formlen

hvor α er en hvilken som helst n. rod af a i L .

Generaliseringer

Der er en lille generalisering af Kummers teori til abelske udvidelser af Galois-gruppen af ​​grad n , og et lignende udsagn er sandt i denne sammenhæng. Man kan nemlig bevise, at sådanne udvidelser er en single-valued mapping i undergrupper

Hvis grundfeltet K ikke indeholder n -te rødder af enhed , bruges nogle gange en isomorfi

Se også

Links