Hilberts sætning 90

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. april 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Hilberts sætning 90 er et af de vigtigste udsagn for finite cykliske Galois-udvidelser .

Multiplikativ form

Lad være Galois-gruppen af en endelig cyklisk forlængelse og være dens generator. Så er normen for ethvert element 1, hvis og kun hvis der er et element, der ikke er nul , hvilket er $G$ $E/K,$ $\sigma$ $\beta \i E$ $\alfa \i E$ $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))).$

Bevis

Tilstrækkeligheden er indlysende: hvis vi så, under hensyntagen til normens multiplikativitet, har Da normen for adskillelige udvidelser er lig med produktet af alle og anvendelse på et sådant produkt kun fører til en permutation af faktorerne, så $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))),$ $N(\beta )={\frac {N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha ))))$ $\sigma _{i}(\alpha ),$ $\sigma$ ${\frac {N(\alpha )}{N(\sigma (\alpha ))))={\frac {N(\alpha )}{N(\alpha )))=1.$

For at bevise nødvendigheden skriver vi følgende kortlægning:

{\mathrm {id}}+\beta \sigma +\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{{n-2 }}(\beta )\sigma ^{{n-1}}).

Ifølge sætningen om lineær uafhængighed af karakterer er denne afbildning ikke nul. Derfor er der et element for hvilket $\gamma \i E,$

0\neq \alpha =\gamma +\beta \sigma (\gamma )+\beta \sigma (\beta )\sigma ^{2}(\gamma )+\ldots +(\beta \sigma (\beta )\ ldots \sigma ^{{n-2}}(\beta )\sigma ^{{n-1}}(\gamma ).

Hvis vi anvender tilknytningen til og derefter multiplicerer det resulterende udtryk med , vil det første led gå til det andet, og så videre, og det sidste vil gå til det første, da $\sigma$ $\alfa,$ $\beta,$ $\beta \sigma (\beta )\ldots \sigma ^{{n-2}}(\beta )\sigma ^{{n-1}}(\beta )=N(\beta )=1.$

Så får vi at dividere med vi har Nødvendighed er bevist. $\beta \sigma (\alpha )=\alpha ,$ $\sigma (\alpha )\neq 0$ $\beta ={\frac \alpha {\sigma (\alpha ))).$

Additiv form

Lad være Galois-gruppen af en endelig cyklisk forlængelse og være dens generator. Så er sporet af et element 0, hvis og kun hvis der eksisterer et element, der ikke er nul, således at $G$ $E/K,$ $\sigma$ $\beta \i E$ $\alfa\in E,$ $\beta =\alpha -\sigma (\alpha ).$

Beviset for tilstrækkelighed er fuldstændig analogt med det multiplikative tilfælde, og om nødvendigt overvejer vi et element, for hvilket og konstruerer det nødvendige i formen: $\gamma \i E,$ ${\mathrm {tr}}\gamma \neq 0$ $\alfa$

\alpha ={\frac {1}{{\mathrm {tr}}\gamma }}[\beta \sigma (\gamma )+(\beta +\sigma (\beta ))\sigma ^{2}(\ gamma )+\ldots +(\beta +\ldots +\sigma ^{{n-2}}(\beta ))\sigma ^{{n-1}}(\gamma )|.

Litteratur

Leng S. Algebra . - M . : Mir, 1967. - S. 243 -244.

Se også

Galois kohomologi

David Hilberts bidrag til videnskaben
mellemrum	Hilbert plads Pre-Hilbert plads Gilbert mursten
aksiomatik	Hilberts aksiomatiske
Sætninger	Hilberts sætning 90 Hilberts basissætning Hilberts nulsætning Hilbert-Schmidts sætning
Operatører	Hilbert transformation Hilbert-Schmidt operatør
Generel relativitetsteori	Einstein-Hilberts ligninger " Hilbert og gravitationsfeltligningerne "
Andet	Hilbert problemer Hilbert kurve Hilbert matrix Hilbert-Arnold problem Hilbert-serien og Hilbert-polynomiet Paradoks "Grand Hotel"