Sfærisk sinussætning

Den sfæriske sinussætning fastslår proportionaliteten mellem sinus af siderne a , b , c og sinus af vinklerne A , B , C modsat disse sider af en sfærisk trekant :

{\frac {\sin a}{\sin A))={\frac {\sin b}{\sin B))={\frac {\sin c}{\sin C)).

Den sfæriske sinussætning er en analog af plansinussætningen og går over i sidstnævnte i grænsen for små sider af trekanter sammenlignet med kuglens radius.

Bevis

Bevis ved fremskrivninger [1] . Figuren viser en sfærisk trekant ABC på en kugle med radius R centreret ved O. BP er vinkelret på planet for den store cirkel, der går gennem side b , BM er vinkelret på OC , BN er vinkelret på OA . Ved det modsatte af de tre perpendikulære sætning er PM vinkelret på OC , PN er vinkelret på OA . Bemærk at vinklen PMB er lig med π - C, desuden BN= R sin c og BM = R sin a. Dernæst projicerer BN og BM på BP , får vi:

BP = BN \sin \sin BNP = R \sin c \sin A,

BP = BM \sin \sin PMB = R \sin a \sin (\pi - C) = R \sin a \sin C,

\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin c}{\sin C}

På samme måde opnår vi den anden lighed.

Et bevis baseret på de allerede beviste forhold mellem siderne og vinklerne i en sfærisk retvinklet trekant. Lad os slippe den vinkelrette CD = h fra toppunktet C til siden c eller dens forlængelse. Vi udtrykker h på to måder fra de resulterende retvinklede trekanter ACD og BCD :

\sin h=\sin b\sin A=\sin a\sin B.

Herfra får vi andelen

\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B},

hvortil vi på samme måde tilføjer forholdet mellem det tredje sidevinkelpar.

Historie

Sinussætningen for sfæriske trekanter blev formuleret og bevist i skrifter af en række matematikere fra det middelalderlige øst, som levede i det 10. århundrede e.Kr. e. - Abu-l-Vafa , al-Khojandi og Ibn Irak . Denne sætning gjorde det muligt at forenkle løsningerne af en række problemer inden for sfærisk astronomi, som tidligere var blevet løst ved hjælp af Menelaos sætning for en komplet firkant .

Se også

Noter

↑ Citeret ifølge publikationen: Stepanov N.N. Sinusformler // Sfærisk trigonometri . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 29 -32. — 154 s.

Litteratur

Matvievskaya G.P. Essays om trigonometriens historie. Tashkent: Fan, 1990.

Sfærisk trigonometri
Basale koncepter	sfærisk trekant polar trekant Overskydende Bigon
Formler og forhold	Cosinussætninger Sinus-sætning Formel med fem elementer Halvsideformel Napiers mnemoniske regel Sfærisk Pythagoras sætning Delambre formler Napiers analogi formler Legendres sætning Løsning af trekanter
relaterede emner	Sfærisk koordinatsystem sfærisk geometri trihedral vinkel