Napiers mnemoniske regel

Napiers mnemoniske regel er en form for at skrive de grundlæggende forhold i en retvinklet sfærisk trekant , let at huske.

Formulering og begrundelse af reglen

Ordlyd

Napiers mnemoniske regel kan formuleres som følger [1] :

For tre tilstødende elementer i en retvinklet sfærisk trekant er cosinus af det midterste element lig med produktet af cotangenserne af naboelementer, og for tre ikke-tilstødende elementer er cosinus af et element, der er placeret adskilt fra de to andre, lig med produktet af deres sinus. I dette tilfælde, i stedet for ben, tages deres komplementer op til 90 grader, og en ret vinkel betragtes slet ikke som et element.

To eksempler:

\cos B=\mathrm {ctg} \,{\overline {a}}\,\mathrm {ctg} \,c=\mathrm {ctg} \,(90^{\circ }-a)\ mathrm {ctg} \,c={\frac {\mathrm {tg} \,a}{\mathrm {tg} \,c))

\cos B=\sin {\overline {b))\sin A=\sin(90^{\circ }-b)\sin A=\cos b\sin A

For at gøre det mere bekvemt at anvende reglen, tegn en cirkel, opdel den i fem dele efter radier og skriv alle elementerne i en retvinklet sfærisk trekant i dem, med undtagelse af den rette vinkel, i den rækkefølge, hvori de er placeret i trekanten. Hvert ben er markeret med en vandret linje over det eller en apostrof ved siden af det - et tegn på komplementet af benet op til 90 grader. Det er nemt at finde de rigtige tre elementer på cirklen og anvende mnemonreglen på dem.

Begrundelse

Lad os bevise en formel for tre tilstødende elementer i en retvinklet sfærisk trekant og en formel for to tilstødende og et separat element [2] , og så for at underbygge Napiers mnemoniske regel (og samtidig bevise selve formlerne), som giver alle ti sådanne formler for en retvinklet sfærisk trekant , gælder for disse to formler, efter Lambert, den stjerneformede femkant [3] .

Lad os tage to ben a og b (tilstødende elementer) og hypotenusen c (separat element). De er forbundet med den sfæriske Pythagoras sætning , som er bevist i artiklen om det. Derfor er der praktisk talt intet at bevise i denne sag. Det bemærker vi kun

\cos c=\cos a\cos b=\sin(90^{\circ }-a)\sin(90^{\circ}-b)=\sin {\overline {a))\sin {\overline {b)),

det vil sige, at for disse tre elementer er Napiers mnemoniske regel gyldig. Vi udleder nu en formel for tre tilstødende elementer. Tag hypotenusen c, benet a og vinklen B. Som i beviset for den sfæriske Pythagoras sætning, overvej den triedriske vinkel OA 1 B 1 C 1 med sider (stråler) OA 1 , OB 1 , OC 1 og toppunkt ved punkt O, svarende til en given retvinklet sfærisk trekant ABC.

Læg mærke til det

{\frac {A_{1}B_{1}}{B_{1}O}}=\mathrm {tg} \,\angle A_{1}OB_{1}=\mathrm {tg} \, c,

{\frac {C_{1}B_{1}}{B_{1}O}}=\mathrm {tg} \,\angle B_{1}OC_{1}=\mathrm {tg} \, en,

{\frac {C_{1}B_{1}}{A_{1}B_{1}}}=\cos \angle A_{1}B_{1}C_{1}=\cos B.

Herfra

\mathrm {tg} \,a={\frac {C_{1}B_{1}}{B_{1}O}}={\frac {A_{1}B_{1}}{B_{ 1}O}}\cdot {\frac {C_{1}B_{1}}{A_{1}B_{1}}}=\mathrm {tg} \,c\cos B,

\cos B={\frac {\mathrm {tg} \,a}{\mathrm {tg} \,c}}=\mathrm {ctg} \,(90^{\circ }-a)\ mathrm {ctg} \,c=\mathrm {ctg} \,{\overline {a}}\,\mathrm {ctg} \,c,

det vil sige, at for disse tre elementer er Napiers mnemoniske regel gyldig. Begge formler er gennemprøvede. Det er tilbage at anvende stjerne femkanten.

På figuren er tilføjelser af elementer op til 90 grader angivet med apostrof. Denne stjerneformede femkant er konstrueret som følger. En given sfærisk trekant ABC er tegnet på kuglen, dens toppunkter A og B er de to første hjørner af femkanten. Dernæst tegner vi polarerne for punkterne A og B, punktet for deres skæringspunkt, der ligger på den anden side af hypotenusen c fra toppunktet C, vil være det tredje toppunkt i femkanten, og de to skæringspunkter for disse polarer med fortsættelsen af siderne a og b vil være de to andre hjørner af femkanten. Forlængelserne af siderne af femkanten skærer hinanden og danner fem sfæriske trekanter. Det er let at se, at hvert hjørne af femkanten er en pol for sin modsatte side. Derfor vil alle fem sfæriske trekanter være retvinklede. Herfra opnås også værdierne for alle deres elementer, angivet i figuren.

For den sfæriske trekant ABC blev to formler for Napiers mnemoniske regel bevist ovenfor. Elementerne i hver næste retvinklede sfæriske trekant med uret svarer til elementerne i den foregående, roteret med 2/5 af en hel omgang, eller deres komplementer op til 90 grader. Derfor, hvis vi successivt anvender de opnåede to formler på de tilsvarende elementer i hver trekant, opnår vi alle 10 formler og den samme form for Napiers mnemoniske regel for dem alle.

Historie

Napiers mnemoniske regel er opkaldt efter John Napier , som udgav den i sit berømte værk "Description of the amazing table of logarithms" (1614), og han citerede den som en demonstration af anvendelsen af det nye matematiske begreb defineret af ham i dette værk. logaritme , og begge dele af lighed i mnemonic Napiers regler er prologaritmiske. En elegant og visuel matematisk begrundelse af Napiers mnemoniske regel ved hjælp af en stjerneformet femkant blev givet af Johann Lambert i hans værk "Additions to the Application of Mathematics and Their Applications", udgivet i 1765 [3] . Senere blev den stjerneformede femkant på kuglen brugt af Carl Gauss til at underbygge det samme (sandsynligvis har han ikke læst om det i Lamberts værk) og andre egenskaber, Gauss kaldte det et "vidunderligt pentagram" ( lat. pentagramma mirificum ) [4] .

Begrundelse ved hjælp af en stjerneformet femkant af forhold i en retvinklet sfærisk trekant viste sig at være en noget universel metode: Nikolai Lobachevsky brugte en sekvens af fem retvinklede trekanter til at udlede en sammenhæng mellem elementerne i en retvinklet trekant i det rum, han studerede , forbandt senere den indiske matematiker S. Mukopadiaya denne sekvens med en femkant i det samme rum, og endnu senere etablerede den russiske matematiker Alexander Norden en forbindelse mellem den stjerneformede femkant på kuglen og den nævnte femkant i Lobachevsky-rummet [3] .

Noter

↑ Stepanov N.N. Napiers mnemoniske regel // Sfærisk trigonometri . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 48 -49. — 154 s.
↑ Stepanov N.N. Sfærisk trigonometri. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 s.
↑ 1 2 3 B.L. Laptev. Lambert er en geometer. // Historisk og matematisk forskning . - M . : Nauka , 1980. - Nr. 25 . - S. 248-252 .
↑ Magnus J. Wenninger. Polyeder modeller . - Cambridge University Press , 1974. - C. xi. — 228 s.

Sfærisk trigonometri
Basale koncepter	sfærisk trekant polar trekant Overskydende Bigon
Formler og forhold	Cosinussætninger Sinus-sætning Formel med fem elementer Halvsideformel Napiers mnemoniske regel Sfærisk Pythagoras sætning Delambre formler Napiers analogi formler Legendres sætning Løsning af trekanter
relaterede emner	Sfærisk koordinatsystem sfærisk geometri trihedral vinkel