Magt middel

D - potensmiddelværdien (eller blot potensmiddelværdien ) er en slags middelværdi . For et sæt positive reelle tal er defineret som $x_{1},\ldots ,x_{n}$

A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{d}]{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{ i}^{d}}{n}}}.

Samtidig, i henhold til princippet om kontinuitet med hensyn til indikatoren d , bestemmes følgende værdier:

A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to 0}A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})= {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}};

A_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to +\infty }A_{d}(x_{1},\ldots,x_{ n})=\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\};

A_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to -\infty }A_{d}(x_{1},\ldots,x_{ n})=\min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}.

Kraftmiddelværdien er et særligt tilfælde af Kolmogorov-middelværdien .

Sammen med begrebet "power mean" bruges også det vægtede effektmiddel af nogle størrelser.

Andre titler

Da gennemsnittet af grad d generaliserer de gamle (såkaldte arkimediske) gennemsnit, kaldes det ofte generaliseret gennemsnit .

I forbindelse med Minkowskis og Hölders uligheder har magtmiddelværdien også navne: Hölders middelværdi og Minkowskis middelværdi .

Særlige tilfælde

Gennemsnitlige grader 0, ±1, 2 og har deres egne navne: $\pm\infty$

$A_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=m={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$ kaldet den aritmetiske middelværdi ;

(med andre ord: det aritmetiske middelværdi af n tal er deres sum divideret med n )

$A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=g={\sqrt[ {n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n))}$ kaldes det geometriske middel ;

(med andre ord: den geometriske middelværdi af n tal er den n - te rod af produktet af disse tal)

$A_{{-1))(x_{1},\ldots ,x_{n})=h={\frac {n}({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1 }{x_{2))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n))))}$ kaldet den harmoniske middelværdi .

(med andre ord: den harmoniske middelværdi af tal er den reciproke af det aritmetiske middelværdi af deres reciproke)

$A_{{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=s={\sqrt {{\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ cdots +x_{n}^{2}}{n}}}}$ kaldet middelkvadrat (kvadrat) , også kendt under forkortelsen RMS (root-mean-square).
I statistisk praksis anvendes også magtlovsgennemsnit af tredje og højere orden. De mest almindelige af disse er de gennemsnitlige kubiske og gennemsnitlige biquadratiske værdier.
Det maksimale og mindste antal fra et sæt positive tal udtrykkes som gennemsnittet af potenserne af disse tal: $+\infty$ $-\infty$

\operatørnavn {max}\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{{+\infty }}(x_{1},\ldots,x_{n});

\operatørnavn {min}\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{{-\infty }}(x_{1},\ldots,x_{n}).

Ulighed om midler

Den gennemsnitlige ulighed siger, at for evt $d_{1}>d_{2}$

A_{{d_{1}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq A_{{d_{2}}}(x_{1},\ldots,x_{n})

desuden opnås lighed kun, hvis alle argumenter er ens . $x_{1}=\ldots=x_{n}$

For at bevise middeluligheden er det tilstrækkeligt at vise, at den partielle afledte med respekt er ikke-negativ og forsvinder først ved (for eksempel ved at bruge Jensen-uligheden ), og derefter anvende den endelige inkrementformel . $A_{d}(x_{1},\ldots,x_{n})$ $d$ $x_{1}=\ldots=x_{n}$

Ulighed om det aritmetiske, geometriske og harmoniske middelværdi

Et særligt tilfælde af uligheden om middel er uligheden om den aritmetiske, geometriske og harmoniske middelværdi

\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\geq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq \left(x_{1} \cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{{1/n}}\geq {\frac {n}({\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}\geq \min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\},

hvor hver af ulighederne bliver en lighed kun for . $x_{1}=\ldots=x_{n}$

Se også

Schweitzers ulighed

Links

I. I. Zhogin. Om gennemsnit // Matematisk uddannelse . Anden serie. - 1961. - Udgave. 6 . - S. 217-226 .

Betyde
Matematik	Effektmiddel ( vægtet ) harmonisk middel vægtet geometrisk middelværdi vægtet Gennemsnit vægtet geometriske middelværdi Gennemsnitlig kubik glidende gennemsnit Aritmetisk-geometrisk middelværdi Funktion Middel Kolmogorov mener
Geometri	geometrisk centrum Barycenter
Sandsynlighedsteori og matematisk statistik	Winsoriseret middelværdi prøvegennemsnit Forventet værdi Median Mode standardafvigelse Afkortet middelværdi Betinget forventning
Informationsteknologi	Medoid k-median metode
Sætninger	Første middelsætning Anden middelsætning Ulighed om det aritmetiske, geometriske og harmoniske middelværdi
Andet	Distributionscenter-metrics