Schweitzers ulighed

Schweitzers ulighed siger følgende

For alle reelle tal, der hører til intervallet , hvor , gælder følgende ulighed: $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ $[m;M]\;$ $M\geqslant m>0$

\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2} .

Desuden, hvis mærkeligt, så $\;n$

\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2} -{\frac {(mM)^{2}}{4mM}}.

Historie

Denne ulighed blev offentliggjort i 1914 i en artikel [1] af den ungarske matematiker Miklós Schweitzer . Der er en engelsk oversættelse af denne artikel i appendiks til [2] . Da få mennesker var bekendt med Schweitzers artikel, før den engelske oversættelse udkom, er uligheden (den anden del) normalt forbundet [3] med navnet på Alexandru Ioan Lupaš , som beviste [4] denne ulighed næsten 60 år senere end Schweitzer.

Tilsvarende uligheder

( V. Sierpinski [5] ) For eventuelle positive tal , $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$

\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2 ))}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant \left({\frac {A}{G}}\right)^{n}n^{2} ,

hvor A og G angiver henholdsvis den aritmetiske middelværdi og den geometriske middelværdi . $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$

Konsekvenser

( O. Shisha [6] ) For alle reelle tal, der hører til segmentet , hvor , er uligheden sand: $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ $[m;M]$ $0<m\leqslant M$

{\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}-{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}} +{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq (Mm)^{2}.

(Z.-C. Hao). De reelle tal hører til intervallet , hvor . Under betingelsen og følgende ulighed gælder: $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ $[m;M]$ $0<m\leqslant M$ $0<q\leqslant p<1$ $p+q=1$

\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)^{p}\left({\frac {1}{x_{1))}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{q}\leqslant {\frac {n(pM+qm)}{m^ {q}M^{q}}}.

Generaliseringer

Kantorovichs

Noter

↑ Schweitzer P. Egy egyenlőtlenség az arithmetikai középértékről (neopr.) // Math. es. Phys. Lapok.. - 1914. - T. 23 . - S. 257-261 . (Hung.) ("Ulighed, der indeholder det aritmetiske middelværdi")
↑ Watson GS, Alpargu G., Styan GPH Nogle kommentarer til seks uligheder forbundet med ineffektiviteten af almindelige mindste kvadraters med én regressor // Lineær Algebra og dens Appl. : journal. - 1997. - Bd. 264 . - S. 13-54 . - doi : 10.1016/S0024-3795(97)00228-0 .
↑ Mitrinović DS, Pečarić JE, Fink AM Klassiske og nye uligheder i analyse. Matematik og dens anvendelser . - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group , 1993. - Vol. 61. - (Østeuropæisk serie).
↑ Lupaş A. En bemærkning om Schweitzer- og Kantorovich-ulighederne (neopr.) // Publ. Elek. Fak. Univ. Beograd Ser. Måtte. i Fiz .. - 1972. - T. 381-409 . - S. 13-15 .
↑ Sierpiński W. Über eine auf das aritmetische, geometrische und harmonische Mittel sich beziehende Ungleichung (tysk) // Warsch. Sitzungsber. : butik. - 1909. - Bd. 2 . - S. 354-367 . (Tysk)
↑ Shisha O. Uligheder I. - New York-London, 1967. - S. 293-308.

Kilde

A. Khrabrov. Schweitzers ulighed // I lør. Opgaver fra St. Petersborg Olympiade for skolebørn i matematik, 2005. Nevsky-dialekt, 2005. - S. 89--96 .. Arkiveret den 20. maj 2006.