Særlige funktioner

Specialfunktioner er funktioner, der findes i forskellige anvendelser af matematik (oftest i forskellige problemer inden for matematisk fysik), som ikke udtrykkes gennem elementære funktioner . Specialfunktioner er repræsenteret som serier eller integraler .

Særlige funktioner opstår normalt fra følgende opgaver:

"uoptagne" integraler;
løsninger af transcendentale ligninger , der ikke er udtrykt i elementære funktioner;
løsninger af differentialligninger , der ikke er udtrykt i elementære funktioner;
serier , der ikke konvergerer til elementære funktioner;
matematisk udtryk for tals egenskaber;
behovet for at specificere en funktion med usædvanlige egenskaber.

Denne opdeling er ikke streng, da for eksempel de fleste af de ikke-elementære løsninger af differentialligninger er blevet udtrykt i form af et ikke-forstået integral eller som en serie. Derfor er der ingen streng klassificering af transcendentale funktioner

De fleste specielle funktioner er transcendentale .

Integralfunktioner

Sådanne specielle funktioner omfatter: beta-funktion , gamma-funktion , integrallogaritme , integraleksponent , integral af sandsynlighed , integral sinus , integral cosinus , elliptiske funktioner , Fresnel-integraler .

Seriefunktioner

Sådanne funktioner omfatter hypergeometrisk funktion , zeta-funktion , polylogaritme .

Ikke-elementære løsninger af differentialligninger

Disse specielle funktioner omfatter: sfæriske funktioner , cylindriske funktioner , luftige funktioner , parabolske cylinderfunktioner , Mathieu- funktioner , Bessel-funktioner .

Usædvanlige funktioner

Der er mange funktioner med usædvanlig adfærd, designet til forskellige formål. Dette er Dirichlet- funktionen , Heaviside-funktionen .

Funktioner, der udtrykker egenskaber ved tal

Disse funktioner er normalt relateret til de enkleste egenskaber ved tal. Først og fremmest inkluderer dette specielle aritmetiske funktioner , tegn på et tal , fakultet .

Se også

Bateman -projektet er et projekt for at skabe et leksikon i flere bind om teorien om specielle funktioner

Litteratur

Mathematical Encyclopedic Dictionary, - Enhver udgave.
Olver F. Introduktion til asymptotiske metoder og specielle funktioner, - M .: Nauka, 1978.
Bateman G., Erdeyi A. Højere transcendentale funktioner: Hypergeometrisk funktion. Legendre funktioner. — M.: Nauka, 1965. Pr. red.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Højere transcendentale funktioner. Vol. 1 - 1953.
Bateman G., Erdelyi A. Højere transcendentale funktioner: Bessel-funktioner, parabolske cylinderfunktioner, ortogonale polynomier. - M.: Nauka, 1966. Per. red.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Højere transcendentale funktioner. Vol. 2 - 1953.
Bateman G., Erdeyi A. Højere transcendentale funktioner: Elliptiske og automorfe funktioner. Lame og Mathieu funktioner. - M.: Nauka, 1967. Per. red.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Højere transcendentale funktioner. Vol. 3 - 1955.
Bateman G., Erdeyi A. Tabeller over integrerede transformationer: Fourier, Laplace, Mellin transformationer. - M.: Nauka, 1969. Per. red.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tabeller over integrerede transformationer. Vol. 1 - 1954.
Bateman G., Erdeyi A. Tabeller over integrerede transformationer: Bessel-transformationer. Integraler af specialfunktioner. - M.: Nauka, 1970. Pr. red.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tabeller over integrerede transformationer. Vol. 2 - 1954.
Luke Yu. Særlige matematiske funktioner og deres tilnærmelser. — M.: Mir, 1980.