Leibniz-serien

Leibniz-serien er en vekslende serie opkaldt efter den tyske matematiker Leibniz , der studerede den (selvom denne serie var kendt før):

1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac { 1}{11}}+{\frac {1}{13}}-{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{17}}-{\frac {1}{19}} +{\frac {1}{21}}-\cdots =\sum _{{n=0}}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1} }.

Konvergensen af denne serie følger umiddelbart af Leibniz-sætningen for alternerende serier . Leibniz viste, at summen af en serie er lig med. Denne opdagelse viste for første gang, at tallet , oprindeligt defineret i geometri, faktisk er en universel matematisk konstant ; i fremtiden fandt dette faktum konstant nye bekræftelser. ${\frac {\pi }{4}}.$ $\pi$

Konvergenshastighed

Leibniz-serien konvergerer ekstremt langsomt. Følgende tabel illustrerer hastigheden af konvergens til en serie ganget med 4. $\pi$

n (antal medlemmer af serien)	$4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$ (delvis sum, korrekte tegn er fremhævet med sort)	Relativ nøjagtighed
2	2,666666666666667	0,848826363156775
fire	2,895238095238095	0,921582908570213
otte	3,017071817071817 _	0,960363786700453
16	3,079153394197426 _	0,980124966449415
32	3.1 10350273698686	0,990055241612751
64	3.1 25968606973288	0,995026711499770
100	3.1 31592903558553	0,996816980705689
1000	3.14 0592653839793	0,999681690193394
10.000	3.141 492653590043	0,999968169011461
100.000	3.1415 82653589793	0,999996816901138
1.000.000	3.14159 1653589793	0,999999681690114
10.000.000	3.141592 553589793	0,999999968169011
100.000.000	3.1415926 43589793	0,999999996816901
1.000.000.000	3.14159265 2589793	0,999999999681690

Historie

Leibniz-serien er let at opnå gennem udvidelsen af buetangensen til en Taylor-serie [1] :

\operatorname{arctg} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots

Sætter vi får Leibniz-serien. $x=1,$

Taylor-serien for buetangens blev først opdaget af den indiske matematiker Madhava fra Sangamagrama , grundlæggeren af Kerala School of Astronomy and Mathematics (XIV århundrede). Madhava brugte serien [2] [3] til at beregne tallet . Imidlertid konvergerer Leibniz-serien med, som vist ovenfor, ekstremt langsomt, så Madhava satte og fik en meget hurtigere konvergent serie [4] : $\pi$ $x=1,$ $x={\frac {\sqrt {3}}{3}}$

\pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}- {\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\dots \right).

Summen af de første 21 led giver værdien , og alle tegn, bortset fra det sidste, er korrekte [5] . $3{,}14159265359$

Madhavas og hans disciples arbejde var ikke kendt i det 17. århundredes Europa, og udvidelsen af buetangensen blev uafhængigt genopdaget af James Gregory (1671) og Gottfried Leibniz (1676). Derfor foreslår nogle kilder at kalde denne serie for "Madhava-Leibniz-serien" eller "Gregory-Leibniz-serien". Gregory forbandt dog ikke denne serie med nummeret $\pi.$

Acceleration af konvergens

En anden modifikation af Leibniz-serien, som gør den praktisk egnet til beregning , er den parvise forening af seriens vilkår. Som et resultat får vi følgende række: $\pi$

{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1} {4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3))).

For yderligere at optimere beregningerne kan du anvende Euler-Maclaurin-formlen og bruge numeriske integrationsmetoder .

Se også

harmoniske serier

Noter

↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 401.
↑ Paplauskas A. B. Præ-newtonsk periode med udvikling af uendelige serier. Del I // Historisk og matematisk forskning . - M . : Nauka, 1973. - T. XVIII . - S. 104-131 .
↑ CT Rajagopal og MS Rangachari. Om en uudnyttet kilde til middelalderlig Keralese Mathematics (engelsk) // Archive for History of Exact Sciences : tidsskrift. - 1978. - Juni ( bind 18 ). - S. 89-102 . - doi : 10.1007/BF00348142 .
↑ Det allestedsnærværende tal "pi", 2007 , s. 47.
↑ R. C. Gupta. Madhavas og andre middelalderlige indiske værdier af pi // Matematik . Uddannelse. - 1975. - Bd. 9 , nr. 3 . -P.B45 - B48 .

Litteratur

Zhukov A. V. Det allestedsnærværende tal "pi". - 2. udg. - M . : Forlaget LKI, 2007. - 216 s. - ISBN 978-5-382-00174-6 .
Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning. - M. : FIZMATLIT, 2003. - T. 2. - 864 s. — ISBN 5-9221-0157-9 .

Links

Weisstein, Eric W. Gregory Series (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .

Sekvenser og rækker
Sekvenser	Numerisk rækkefølge Grundlæggende rækkefølge Lineær tilbagevendende sekvens Fibonacci-tal krøllede tal Faktoriel Barker-sekvens de bruijn rækkefølge
Rækker, grundlæggende	Rækkesum Resten af rækken Betinget konvergens Skiftende serie Række multisektion
Talserier ( operationer med talserier )	harmoniske serier Leibniz-serien En række omvendte firkanter En række gensidige primtal Dirichlet række Mercator serien Række Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionelle rækker	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serien Trigonometrisk Fourier-serie trigonometriske serier Wiener-serien
Andre rækketyper	Neumann-serien Puiseux række