Khinchin konstant

Khinchins konstant er en reel konstant lig med det geometriske middelværdi af elementerne i udvidelsen til en fortsat brøkdel af et hvilket som helst af næsten alle reelle tal. $K_{0}\approx 2{,}685452$

Khinchins konstant er opkaldt efter Alexander Yakovlevich Khinchin , som opdagede og beviste eksistensen af denne konstant og formlen for den i 1935 [1] . Betegnelsen [2] eller [3] svarer til det første bogstav i translitterationen af efternavnet "Khinchin" på europæiske sprog. $K_{0}$ $K$

Definition

For næsten ethvert reelt tal har elementerne i dets fortsatte brøkudvidelse et endeligt geometrisk gennemsnit uafhængigt af [4] . Denne værdi kaldes Khinchin-konstanten. $x$ $a_{i}$ $x$

Med andre ord, hvis

x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac { 1}{\ddots }}}}}}}}\;

hvor er et heltal, og resten er naturlige , så for næsten alle $a_{0}$ $a_{i}$ $x$

\lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}=2{,} 6854520010\ldots

(sekvens A002210 i OEIS ).

I dette tilfælde kan Khinchin-konstanten udtrykkes som et uendeligt produkt $K_{0}$

K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log _{2} r}

Betydning

Den fortsatte brøkudvidelse af et hvilket som helst reelt tal er en sekvens af naturlige tal , og enhver sekvens af naturlige tal er en fortsat brøkudvidelse af ethvert reelt tal mellem 0 og 1. Men hvis man tilfældigt vælger elementerne i sekvensen af naturlige tal i på nogen måde, så vil den geometriske middelværdi af elementerne, generelt set, ikke nødvendigvis være den samme for alle eller næsten alle de resulterende sekvenser. Derfor er eksistensen af Khinchins konstant - det faktum, at den geometriske middelværdi af elementerne i den fortsatte brøkudvidelse viser sig at være den samme for næsten alle reelle tal - et grundlæggende udsagn om reelle tal og deres fortsatte brøkudvidelser [5] , et elegant og dybt resultat [6 ] , en af de mest opsigtsvækkende fakta i matematik [7] .

Bevisskema

Her er et bevis på eksistensen af Khinchins konstant og en formel for den, på grund af Cheslav Ryl-Nardzhevsky [8] , hvilket er enklere end beviset fra Khinchin, som ikke brugte ergodisk teori [9] .

Da det første element i udvidelsen af et tal til en fortsat brøk ikke spiller nogen rolle i, at påstanden bliver bevist, og da Lebesgue-målet for rationelle tal er lig med nul, kan vi begrænse os til at overveje irrationelle tal på segmentet , altså sættet . Disse tal har en en-til-en-korrespondance med fortsatte brøkdele af formularen . Lad os introducere den Gaussiske kortlægning : $a_{0}$ $x$ $(0,1)$ $I=[0,1]\setminus \mathbb {Q}$ $[0;a_{1},a_{2},a_{3}\ldots ]$ $T\colon I\to I$

T([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=[0;a_{2},a_{3},\ldots ]

For hver Borel - delmængde af sættet definerer vi også Gauss-Kuzmin-målet : $E$ $jeg$

\mu (E)={\frac {1}{\ln 2}}\int _{E}{\frac {dx}{1+x}}

Så er et sandsynlighedsmål på sigma-algebraen af Borel-delmængder . Målingen svarer til Lebesgue-målet på , men har en yderligere egenskab: transformationen bevarer målingen . Desuden kan det påvises, at der er en ergodisk transformation af et målbart rum udstyret med et mål (dette er det sværeste punkt i beviset). Så siger den ergodiske sætning , at for enhver -integrerbar funktion på middelværdien - det samme for næsten alle : $\mu$ $jeg$ $\mu$ $jeg$ $T$ $\mu$ $T$ $jeg$ $\mu$ $\mu$ $f$ $jeg$ $f\left(T^{k}x\right)$ $x$

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}(f\circ T^{k})(x) =\int _{I}f\,d\mu

for næsten alle i mål [9] .

x\in I

\mu

Ved at vælge funktionen får vi: ${\displaystyle f([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=\ln a_{1))$

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln(a_{k})=\int _{I} f\,d\mu =\sum _{r=1}^{\infty }\ln r{\frac {\ln {\bigl (}1+{\frac {1}{r(r+2)} }{\bigr )}}{\ln 2}}

for næsten alle . $[0;a_{1},a_{2},\ldots ]$ $jeg$

Tager vi eksponentialet fra begge dele af ligheden, får vi til venstre det geometriske middelværdi af de første elementer i den fortsatte brøk ved , og til højre Khinchin-konstanten [9] . $n$ $n\til\infty$

Serieudvidelse

Khinchin-konstanten kan repræsenteres som en serie [10] :

\ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n} }\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}

eller adskille vilkårene for serien,

\ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\venstre[-\sum _{k=2}^{N}\ln \left({\frac {k-1 }{k}}\right)\ln \left({\frac {k+1}{k}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n ,N+1)}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\right]

hvor er et fast heltal, er Hurwitz zeta-funktionen . Begge serier konvergerer hurtigt, fordi de hurtigt nærmer sig nul som . Du kan også give en dilogaritmeudvidelse [2] : $N$ $\zeta (s,q)$ $\zeta (n)-1$ $n$

\ln K_{0}=\ln 2+{\frac {1}{\ln 2}}\left[\mathrm {Li} _{2}\left({\frac {-1}{2 }}\right)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\mathrm {Li} _{2}\left({ \frac {4}{k^{2}}}\right)\right]

Den geometriske middelværdi af elementerne i den fortsatte brøkudvidelse af forskellige tal

Selvom den geometriske middelværdi af elementerne i den fortsatte brøkudvidelse er den samme for næsten alle tal, er dette ikke blevet bevist for praktisk talt noget specifikt tal , bortset fra dem, der er specielt designet til at opfylde denne erklæring [3] [11] . Et sådant tal kan konstrueres ved straks at sætte elementerne af dets ekspansion i en fortsat brøk, f.eks. sådan her: ethvert endeligt antal elementer i begyndelsen vil ikke have nogen indvirkning på grænseværdien af det geometriske middelværdi, så de kan tages enhver (f.eks. kan du tage de første 60 elementer lig med 4); hvert efterfølgende element tages lig med 2 eller 3, afhængigt af om den geometriske middelværdi af alle tidligere elementer er større eller mindre end Khinchin-konstanten. For dette særlige eksempel holder Gauss-Kuzmin-statistikken dog ikke . $K_{0}$ $x$

Tal , om hvilke det vides, at den geometriske middelværdi af elementerne i deres ekspansion til en fortsat brøk ikke er lig med Khinchins konstant, omfatter rationelle tal , andengradsirrationaliteter (rødderne til forskellige andengradsligninger med heltalskoefficienter) og bunden af den naturlige logaritme . Selvom der er uendeligt mange rationelle tal og kvadratiske irrationaliteter, danner de et sæt af mål nul , og derfor behøver de ikke at indgå i "næsten alle" tal fra definitionen af Khinchins konstant. $x$ $e$

Den geometriske middelværdi af elementerne i den fortsatte brøkudvidelse af nogle tal synes (baseret på direkte beregninger af gennemsnit for store ) at konvergere til Khinchins konstant, selvom der i ingen af disse tilfælde er bevist lighed i grænsen. Disse tal omfatter især tallet π , Euler-Mascheroni-konstanten , tallet , , og Khinchin-konstanten selv. Sidstnævnte omstændighed tyder på, at Khinchins konstant er irrationel, men det vides ikke med sikkerhed, om Khinchins konstant er et rationelt, algebraisk eller transcendentalt tal [3] . $n$ $\sin 1$ ${\sqrt[ {3}]{2}}$

Power middel

Man kan betragte Khinchin-konstanten som et specialtilfælde af det gennemsnitlige potenselement af udvidelsen af tal til en fortsat brøk. For enhver sekvens er effektgennemsnittet $\{a_{n}\}$ $s$

K_{p}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p }\right]^{1/p}

Hvis er elementer i udvidelsen af et tal til en fortsat brøk, så er for enhver og næsten alle givet ved formlen $\{a_{n}\}$ $x$ $K_{p}$ $p<1$ $x$

K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k +1)^{2}}}\right)\right]^{1/p}

Det opnås ved at beregne den tilsvarende magt-lov middelværdi ved Gauss-Kuzmin statistik og svarer til valget af funktionen i ovenstående bevis [2] [8] . Det kan vises, at værdien er opnået i grænsen . ${\displaystyle f([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=a_{1}^{p))$ $K_{0}$ $p\to 0$

Især kan man opnå den harmoniske middelværdi af elementerne i den fortsatte brøkudvidelse. Dette nummer er

K_{-1}=1{,}74540566240\ldots

(sekvens A087491 i OEIS ).

Noter

↑ Khinchin A. Ya. Metrische Kettenbruchprobleme : [ Tysk. ] // Compositio Mathematica. - 1935. - T. 1. - S. 361-382. MR : 1556899 _
↑ 1 2 3 Bailey, Borwein & Crandall, 1997 .
↑ 1 2 3 Weisstein, Eric W. Khinchins konstant på Wolfram MathWorld -webstedet .
↑ Khinchin, 1960 , § 16 Gennemsnitsværdier, s. 110-111.
↑ McLeman, Cam. De ti sejeste numre (utilgængeligt link) . Hentet 18. januar 2016. Arkiveret fra originalen 11. november 2020. (ubestemt)
↑ Alexander Yakovlevich Khinchin (på hans tresindstyvende fødselsdag) // Uspekhi Mat. - 1955. - T. 10, no. 3(65). - S. 197-212.
↑ Finch, Steven R. Matematiske konstanter . - Cambridge University Press, 2003. - S. 60. - Errata and Addenda . — ISBN 978-0521818056 .
↑ 1 2 Ryll-Nardzewski, Czesław. Om de ergodiske sætninger II (Ergodisk teori om fortsatte brøker) : [ eng. ] // Studio Mathematica. - 1951. - Bd. 12. - S. 74-79. MR : 13:757b .
↑ 1 2 3 Kac, Marc. Statistisk uafhængighed i sandsynlighed, analyse og talteori. — Matematik. Association of America, og John Wiley & Sons, 1959, s. 89-94. — ISBN 978-0883850121 .
↑ Bailey, Borwein & Crandall, 1997 . Denne artikel bruger en lidt anderledes definition af Hurwitz zeta-funktionen.
↑ Wieting T. A Khinchin Sekvens // Proc. fra American Mathematical Society. - 2008. - Bd. 136, nr. 3. - S. 815-824. - doi : 10.1090/S0002-9939-07-09202-7 . MR : 2361853 _ Se OEIS -sekvens A089618 .

Litteratur

Khinchin A. Ya. Fortsat fraktioner . - M . : Fizmatlit, 1960. - 112 s.
Bailey D. H., Borwein J. M., Crandall R. E. On the Khinchine constant // Mathematics of Computation. - 1997. - Bd. 66 , nr. 217 . - S. 417-431 . - doi : 10.1090/s0025-5718-97-00800-4 . MR : 1377659 _