Fly

Flyet er et af de grundlæggende begreber inden for geometri . I en systematisk præsentation af geometri er begrebet et plan normalt taget som et af de indledende begreber, som kun indirekte er bestemt af geometriens aksiomer . I nær forbindelse med flyet er det sædvanligt at betragte de dertil hørende punkter og linier ; de er også som regel introduceret som udefinerede begreber, hvis egenskaber er specificeret aksiomatisk [1] .

Nogle karakteristiske egenskaber for flyet

Et plan er en overflade, der fuldstændigt indeholder hver linje, der forbinder nogen af dens punkter ;
To planer er enten parallelle eller skærer hinanden i en lige linje.
En ret linje er enten parallel med et plan eller skærer det på et punkt eller er på et plan.
To linjer vinkelret på samme plan er parallelle med hinanden.
To planer vinkelret på den samme linje er parallelle med hinanden.

Planligninger

Først fundet i A. K. Clairaut ( 1731 ).

Ligningen for planet i segmenter blev tilsyneladende første gang mødt af G. Lame ( 1816-1818 ) .

Normalligningen blev indført af L. O. Hesse ( 1861 ).

En plan er en førsteordens algebraisk overflade : i et kartesisk koordinatsystem kan en plan defineres ved en ligning af første grad.

Generel ligning (komplet) for planet

Axe+By+Cz+D=0\qquad (1)

hvor og er desuden konstanter og er ikke lig med nul på samme tid; i vektorform : $A,B,C$ $D$ $A,B$ $C$

({\mathbf {r)),{\mathbf {N)))+D=0

hvor er punktets radiusvektor, vektoren er vinkelret på planet (normalvektor). Vektor retning cosinus : $\mathbf {r}$ $M(x,y,z)$ ${\mathbf {N}}=(A,B,C)$ ${\mathbf {N}}$

\cos \alpha ={\frac {A}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))},

\cos \beta ={\frac {B}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))},

\cos \gamma ={\frac {C}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}.

Hvis en af koefficienterne i planligningen er nul, siges ligningen at være ufuldstændig . For , flyet passerer gennem oprindelsen af koordinater , for (eller , ) flyet er parallelt med aksen (henholdsvis eller ). For ( , eller ) er planet parallelt med planet ( henholdsvis ). $D=0$ $A=0$ $B=0$ $C=0$ $Okse$ $Åh$ $Oz$ $A=B=0$ $A=C=0$ $B=C=0$ $Oxy$ $Oxz$ $Oyz$

Ligning af en plan i segmenter:

{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,

hvor , , er segmenterne afskåret af planet på akserne og . $a=-D/A$ $b=-D/B$ $c=-D/C$ $Ox,Oy$ $Oz$

Ligning for en plan, der går gennem et punkt vinkelret på normalvektoren : $M(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\mathbf {N}}(A,B,C)$

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;

i vektorform:

(({\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{0}}}),{\mathbf {N}})=0.

Ligning for et plan, der passerer gennem tre givne punkter , der ikke ligger på en ret linje : $M(x_{i},y_{i},z_{i})$

(({\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{1}}}),({\mathbf {r_{2}}}-{\mathbf {r_{1}}}),({\mathbf {r_{3}}}-{\mathbf {r_{1}}}))=0

(blandet produkt af vektorer), ellers

\left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2 }-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.

Normal (normaliseret) planligning

x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)

i vektorform:

({\mathbf {r)),{\mathbf {N^{0}}}){\mathbf {-p}}=0,

hvor - enhedsvektor, - afstand P. fra origo. Ligning (2) kan fås fra ligning (1) ved at gange med normaliseringsfaktoren ${\mathbf {N^{0))}$ $s$

\mu =\pm {\frac {1}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}

(tegn og er modsat). $\mu$ $D$

Definition ved punkt og normalvektor

I tredimensionelt rum er en af de vigtigste måder at definere et plan på at angive et punkt på planet og normalvektoren til det.

Lad os sige er radiusvektoren for et punkt defineret på planet, og lad os sige, at n er en ikke-nul vektor vinkelret på planet (normal). Tanken er, at et punkt med radius vektor r er på planet, hvis og kun hvis vektoren fra til er vinkelret på n . $r_{0}$ $P_0$ $P$ $P_0$ $P$

Lad os vende tilbage til det faktum, at to vektorer er vinkelrette, hvis og kun hvis deres prikprodukt er lig med nul. Det følger heraf, at det plan, vi har brug for, kan udtrykkes som mængden af alle punkter r således, at:

\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.

(Her betyder prikken prikprodukt, ikke multiplikation.)

Ved at udvide udtrykket får vi:

n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0,

som er den velkendte ligning for planet.

For eksempel: Givet: et punkt på planet og en normalvektor . $P(2,6,-3)$ $N(9,5,2)$

Planligningen er skrevet som følger:

$9(x-2)+5(y-6)+2(z+3)=0$

$-18+9x-30+5y+6+2z=0$

$9x+5y+2z-42=0$

Afstand fra et punkt til et plan

Afstanden fra et punkt til et plan er den mindste af afstandene mellem det punkt og punkterne på planet. Det er kendt, at afstanden fra et punkt til et plan er lig med længden af den vinkelrette, der falder fra dette punkt til planet.

Afvigelse af et punkt fra planet givet af den normaliserede ligning $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ $(2)$

\delta =x_{1}\cos \alpha +y_{1}\cos \beta +z_{1}\cos \gamma -p;

\delta>0

, hvis og oprindelsen ligger på modsatte sider af planet, ellers . Afstanden fra et punkt til et fly er

M_{1}

\delta<0

|\delta |.

Afstanden fra punktet , til planet givet af ligningen , beregnes ved formlen: $\rho$ $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ $ax+by+cz+d=0$

\rho ={\frac {\mid ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\mid }{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2} }}}}

Afstand mellem parallelle planer

Afstanden mellem planerne givet ved ligningerne og : $Axe+By+Cz+D_{1}=0$ $Axe+By+Cz+D_{2}=0$

d={\frac {\mid D_{2}-D_{1}\mid }({\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}

Afstanden mellem planerne givet ved ligningerne og : ${\bar n}({\bar r}-{\bar {r_{1))})=0$ ${\bar n}({\bar r}-{\bar {r_{2))})=0$

d={\frac {\mid [{\bar r}_{2}-{\bar r}_{1},{\bar n}]\mid }{\mid {\bar n}\mid ))

Relaterede begreber

Vinkel mellem to planer. Hvis P.-ligningerne er givet på formen (1), så

\cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{{\sqrt {(A_{1}^{2} +B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}} };

Hvis i vektorform, så

\cos \varphi ={\frac {({\mathbf {N_{1}}},{\mathbf {N_{2}}})}{|{\mathbf {N_{1}}}||{\mathbf {N_{2}}}|}}.

Fly er parallelle hvis

{\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}

eller (krydsprodukt)

[{\mathbf {N_{1}}},{\mathbf {N_{2}}}]=0.

Planer er vinkelrette hvis

A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0

eller . (Skalært produkt)

({\mathbf {N_{1}}}),{\mathbf {N_{2}}})=0

Planbundt - alle planer, der passerer gennem skæringslinjen mellem to planer. Ligningen for et bundt af planer, det vil sige ethvert plan, der passerer gennem skæringslinjen mellem to planer, har formen [2] :222 :

\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z +D_{2})=0,

hvor og er ethvert tal, der ikke samtidigt er lig med nul. Selve ligningen for denne linje kan findes fra stråleligningen ved at substituere α=1, β=0 og α=0, β=1.

\alfa

\beta

En flok fly - alle fly, der passerer gennem skæringspunktet mellem tre planer [2] :224 . Ligningen for en flok planer, det vil sige ethvert plan, der passerer gennem skæringspunktet mellem tre planer, har formen:

\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z +D_{2})+\gamma (A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3})=0,

hvor , og er alle tal, der ikke er lig med nul på samme tid. Dette punkt i sig selv kan findes ud fra bundtligningen ved at substituere α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 og α=0, β=0, γ=1 og løsning af det resulterende ligningssystem.

\alfa

\beta

\gamma

Variationer og generaliseringer

Fly i ikke-euklidisk rum

Planmetrikken behøver ikke være euklidisk . Afhængigt af de indførte incidensrelationer af punkter og linjer skelnes projektive , affine , hyperbolske og elliptiske planer [1] .

Flerdimensionelle planer

Lad et n-dimensionelt affint-endeligt-dimensionelt rum være givet over feltet af reelle tal. Den har et rektangulært koordinatsystem . En m-plan er et sæt af punkter, hvis radiusvektorer opfylder følgende relation — en matrix, hvis søjler danner det styrende underrum i planen, — en vektor af variable, — en radiusvektor for et af punkterne i planen. Det specificerede forhold kan oversættes fra en matrix-vektor form til en vektor et: - vektorligningen for m-planet. Vektorerne danner et vejledende underrum. To m-planer kaldes parallelle , hvis deres styrerum er ens og . $K^{n}(V,P)$ $O,{\vec {e_{1}}},...,{\vec {e_{n}}}$ $\alfa$ $\alpha =\{x\mid x=A_{nm}{\vec {t_{m}}}+{\vec {d}}\}.$ $A_{{nm}}$ ${\vec {t}}$ ${\vec {d}}$

$x={\vec {a_{1}}}t_{1}+\ldots +{\vec {a_{m}}}t_{m}+d,{\vec {a_{i}}} \i V$
${\vec {a_{i))}$ $\alfa ,\beta$ $\eksisterer x\i \alpha :x\notin \beta$

Et (n-1)-plan i n-dimensionelt rum kaldes et hyperplan eller blot et plan . For et hyperplan er der en generel ligning for et plan. Lad være normalvektoren af planen, være vektoren af variabler, være radiusvektoren for et punkt, der hører til planen, så: være den generelle ligning for planen. Med en matrix af retningsvektorer kan ligningen skrives som følger: , eller: . Vinklen mellem planer er den mindste vinkel mellem deres normale vektorer. ${\vec {n}}$ ${\vec {r}}=(x^{1},...,x^{n})$ ${\vec {r_{0))}$
$({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}},{\vec {n}})=0$
$\det({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}|A_{n,n-1})=0$
${\begin{vmatrix}x^{1}-x_{{0}}^{1}&a_{{1}}^{1}&a_{{2}}^{1}&...&a_{{n -1}}^{1}\\x^{2}-x_{{0}}^{2}&a_{{1}}^{2}&a_{{2}}^{1}&... &a_{{n-1}}^{2}\\...&...&...&...\\x^{n}-x_{{0}}^{n}&a_{{ 1}}^{n}&a_{{2}}^{n}&...&a_{{n-1}}^{n}\end{vmatrix}}=0$

Et eksempel på et 1-plan i tredimensionelt rum (n=3) er en ret linje . Dens vektorligning har formen: . I tilfældet n = 2 er linjen et hyperplan. $\alpha =\{a_{x},a_{y},a_{z}\}t+\{b_{x},b_{y},b_{z}\}$

Et hyperplan i tredimensionelt rum svarer til det sædvanlige koncept for et plan.

Se også

Noter

↑ 1 2 Encyclopedia of Mathematics, 1984 .
↑ 1 2 Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra i eksempler og opgaver . - M . : Højere skole , 1985. - 232 s.

Litteratur

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytisk geometri. - M. : Fizmatlit, 2002. - 240 s.
Plane // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 318-319.

Links

Wikimedia Commons har medier relateret til Plane

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk norsk Stor russer Desktop