Riemann geometri

Riemann- geometri (også kaldet elliptisk geometri ) er en af de ikke-euklidiske geometrier med konstant krumning (de andre er Lobachevsky-geometri og sfærisk geometri ). Hvis Euklids geometri realiseres i et rum med nul Gauss krumning , Lobachevsky - med negativ, så realiseres Riemanns geometri i et rum med konstant positiv krumning (i det todimensionale tilfælde, på det projektive plan og lokalt på kuglen ).

I Riemannsk geometri er en linje defineret af to punkter, en plan med tre, to planer skærer hinanden langs en linje, og så videre, men i Riemannsk geometri er der ingen parallelle linjer. I Riemann geometri, som i sfærisk geometri, er udsagnet sandt: Summen af vinklerne i en trekant er større end to rette linjer, formlen finder sted hvor er summen af vinklerne i en trekant, er kuglens radius hvorpå geometrien er implementeret. $\Sigma =\pi +{S}/{R^{2)),$ $\Sigma$ $R$

Riemanns todimensionelle geometri ligner sfærisk geometri , men adskiller sig ved, at to "linjer" ikke har to, som i sfærisk, men kun ét skæringspunkt. Ved at identificere de modsatte punkter af kuglen opnås et projektivt plan , hvis geometri opfylder aksiomer af Riemannsk geometri.

Overvej nemlig en kugle centreret i et punkt i det tredimensionelle rum . Hvert punkt definerer sammen med kuglens centrum en ret linje , det vil sige et punkt i det projektive plan . Sammenstillingen definerer kortlægningen , storcirkler på (lige linjer i sfærisk geometri) går i rette linjer på det projektive plan , mens præcis to punkter på kuglen går til et punkt: sammen med punktet og punktet diametralt modsat det (se figur). De euklidiske bevægelser i rummet , som tager kuglen ind i sig selv, giver nogle bestemte transformationer af det projektive plan , som er bevægelser af Riemannsk geometri. I Riemannsk geometri skærer alle linjer hinanden, da dette er sandt for det projektive plan, og der er således ingen parallelle linjer i det. $S$ $O$ $E$ $A\i S$ $O$ $l\undersæt E$ $A_{*}$ $\Pi$ $A\til A_{*}$ $S\to\Pi$ $S$ $\Pi$ $A_{*}\i \Pi$ $A\i S$ $A'\i S$ $E$ $S$ $\Pi$

En af forskellene mellem Riemanns geometri og euklidiske geometri og Lobachevskys geometri er, at der ikke er noget naturligt begreb "punkt C ligger mellem punkt A og B " i det (dette begreb er også fraværende i sfærisk geometri). Faktisk vises en stor cirkel på kuglen på den lige linje af det projektive plan , og to diametralt modsatte punkter på kuglen og passerer ind i et punkt . Ligeledes går prikker til ét punkt og prikker går til ét punkt . Således kan vi med samme grund antage, at punktet ligger mellem og og at det ikke ligger imellem dem (se figur). $\Pi$ $S$ $EN$ $EN'$ $A_{*}\i \Pi$ $B,B'$ $B_{*}\i \Pi$ $C,C'$ $C_{*}\i \Pi$ $C_{*}$ $A_{*}$ $B_{*}$

Litteratur

Alexandrov A. D., Netsvetaev N. Yu. Geometri. — M.: Nauka, 1990.
Aleksandrov PS Hvad er ikke-euklidisk geometri. — M.: URSS, 2007.
Alekseevskii DV, Vinberg EB, Solodovnikov AS Geometri af rum med konstant krumning. I: Itogi nauki i tekhniki. Moderne matematikproblemer. grundlæggende retninger. - M.: VINITI, 1988. - T. 29. - S. 1-146.
Berger M. Geometri. / Per. fra fransk - M.: Mir, 1984. - Bind II, del V: Kuglens indre geometri, hyperbolsk geometri, kuglers rum.
Efimov N. V. Højere geometri. - 7. udg. — M.: Fizmatlit , 2003. — 584 s. — ISBN 5-9221-0267-2 .
Klein F. Ikke-euklidisk geometri. - Enhver udgave.
Stepanov N. N. Sfærisk trigonometri. - L.-M., 1948.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. — M.: Fizmatlit, 2009.

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 1025719271