Fladt modul

Et fladt modul over R er et modul således , at tensormultiplikation med dette modul bevarer nøjagtige sekvenser . Et modul siges at være strengt fladt , hvis sekvensen af tensorprodukter er nøjagtig, hvis og kun hvis den oprindelige sekvens er nøjagtig.

Vektorrum , frie og mere generelt projektive moduler er flade. For endeligt genererede moduler over noetheriske ringe er flade moduler det samme som projektive moduler. For endeligt genererede moduler over lokale ringe er alle flade moduler gratis . [en]

Konceptet med et fladt modul blev introduceret af Serre i 1955.

Definition

Der kan gives flere tilsvarende definitioner af et fladt modul.

Et (venstre) -modul siges at være fladt, hvis og kun hvis funktoren er nøjagtig . $R$ $M$ $N\mapsto M\otimes _{R}N$
Da tensorproduktets funktion altid er nøjagtig , kan det tidligere krav lempes. Nemlig, et -modul er fladt, hvis, for enhver injektiv homomorfi af -moduler , den inducerede mapping også er injektiv. $R$ $M$ $R$ $\phi :K\to L$ $F_{M}(\phi ):M\otimes _{R}K\to M\otimes _{R}L$
Et modul er fladt, hvis for hvert endeligt genereret ideal i ringen (med naturlig indlejring ) er den inducerede kortlægning injektiv. $M$ $R$ $I\hookrightarrow R$ $I\otimes _{R}M\to R\otimes _{R}M\cong M$

Egenskaber for flade moduler over en kommutativ ring

For et hvilket som helst multiplikativt system S af ringen R er ringen af kvotienter S −1 R et fladt R -modul.

Et endeligt genereret modul er fladt, hvis og kun hvis det er lokalt gratis. Et lokalt frit modul over en ring R er et modul M , således at dets lokalisering i forhold til ethvert primideal er et frit modul over ringen af kvotienter . $M_{\mathfrak {p))$ $R_{\mathfrak {p))$

Hvis ringen S er en R - algebra , dvs. der eksisterer en homomorfi , giver det mening at spørge, om denne algebra er et fladt R - modul. Det viser sig, at S er et strengt fladt modul, hvis og kun hvis hvert primideal i ringen R er forbilledet under påvirkning af f af et eller andet primideal fra S , dvs. når kortet er surjektivt (se papiret Spektrum af en ring ). $f:R\til S$ $f^{*}\colon \mathrm {Spec} (S)\to \mathrm {Spec} (R)$

Flade moduler kan specificeres på følgende kæde af indeslutninger:

Torsionsfrie moduler ⊃ flade moduler ⊃ projektive moduler ⊃ frie moduler .

For nogle klasser af ringe gælder de omvendte indeslutninger også: for eksempel er hvert torsionsfrit modul over en Dedekind-ring fladt, et fladt modul over en Artinian-ring er projektivt, og et projektivt modul over et principielt ideelt domæne (eller over et lokal ring ) er gratis.

Kategoriske kogrænser

Direkte summer og direkte grænser for flade moduler er flade. Dette følger af, at tensorproduktet pendler med direkte summer og direkte grænser (desuden pendler det med alle kogrænser ). Undermoduler og kvotientmoduler i et fladt modul er ikke nødvendigvis flade (f.eks. er modulet Z /2 Z ikke fladt ). Men hvis et undermodul af et fladt modul er en direkte summand i det , så er faktoren med hensyn til det flad.

Et modul er fladt, hvis og kun hvis det er den direkte grænse for endeligt genererede frie moduler. [2] Dette indebærer især, at hvert endeligt præsenteret fladt modul er projektivt.

Homologisk algebra

Et moduls "fladhed" egenskab kan udtrykkes ved hjælp af funktoren Tor , den venstre afledte funktion for tensorproduktet. Et venstre R - modul M er fladt, hvis og kun hvis Tor n R (-, M ) = 0 for alle (det vil sige, når Tor n R ( X , M ) = 0 for alle og alle højre R - moduler X ), definitionen af et fladt højre modul er ens. Ved at bruge denne kendsgerning kan man bevise flere egenskaber ved en kort nøjagtig sekvens af moduler: $n\geq 1$ $n\geq 1$

0\longrightarrow A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B{\stackrel {g}{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0

Hvis A og C er flade, så er B flad.
Hvis B og C er flade, så er A flad.

Hvis A og B er flade, er C generelt ikke flad. Imidlertid

Hvis A er en direkte summand af modulet B og B er flad, så er A og C flade.

Flade opløsningsmidler

Den flade opløsning af modulet M er opløsningen af formularen

… → F 2 → F 1 → F 0 → M → 0

hvor alle F i er flade. Flade opløsninger bruges til at beregne Tor -funktionen .

Længden af et fladt opløsningsmiddel er det mindste indeks n , således at F n er ikke-nul F i =0 for alle i større end n . Hvis modulet M tillader en endelig flad opløsning, kaldes dets længde den flade dimension af modulet . [3] , ellers siges den flade dimension at være uendelig. For eksempel, hvis modulet M har flad dimension 0, så indebærer nøjagtigheden af sekvensen 0 → F 0 → M → 0, at M er isomorf til F 0 , det vil sige, at den er flad.

Noter

↑ Matsumura, 1970 , Proposition 3.G
↑ Lazard, D. (1969), Autour de la platitude , Bulletin de la Société Mathématique de France T. 97: 81–128 , < http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1969__97__81_0 > Arkiveret fra 3. marts 2014 på Wayback Machine
↑ Lam, 1999 , s. 183.

Litteratur

Bourbaki N. Kommutativ algebra. - M: Mir, 1971.
Eisenbud, David (1995), Kommutativ algebra , vol. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1 ; 978-0-387-94269-8
Enochs, Edgar E. (1981), Injektive og flade omslag, konvolutter og opløsningsmidler , Israel J. Math. V. 39 (3): 189–209, ISSN 0021-2172 , DOI 10.1007/BF0276084
Lam, Tsit-Yuen (1999), Forelæsninger om moduler og ringe , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5
Mac Lane, Saunders (1963), Homology , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 114, Boston, MA: Academic Press
Matsumura og Hideyuki (1970), Kommutativ algebra
Serre, Jean-Pierre (1956), Géométrie algébrique et géométrie analytique , Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier bind 6: 1–42, ISSN 0373-0956 , doi : 10.5802/aif.59 , < http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0 >