Modul over ringen

Et modul over en ring er et af de grundlæggende begreber i almindelig algebra , som er en generalisering af to algebraiske begreber - et vektorrum (faktisk er et vektorrum et modul over et felt ) og en abelsk gruppe (som er et modul ) over ringen af heltal ). $\mathbb {Z}$

Begrebet et modul er kernen i kommutativ algebra , som spiller en vigtig rolle inden for forskellige områder af matematikken som f.eks.

Motivation

I et vektorrum danner et sæt skalarer et felt , og multiplikation med en skalar opfylder flere aksiomer , såsom multiplikationens fordelingsevne . I modulet kræves det kun, at skalarerne danner en ring (associativ, med enhed ), aksiomerne forbliver de samme.

Meget af teorien om moduler består af forsøg på at generalisere kendte egenskaber af vektorrum til dem, nogle gange for dette er man nødt til at begrænse sig til moduler over "velopdragne" ringe, såsom principielle ideelle domæner . Generelt er moduler dog mere komplekse end vektorrum. For eksempel kan ikke hvert modul vælge en basis , og selv dem, hvor dette er muligt , kan have flere baser med et forskelligt antal elementer (i tilfælde af en ikke-kommutativ ring).

Definitioner

Lad være en ring (normalt anset for at være kommutativ med identitetselement ). Et -modul er en abelsk gruppe med multiplikation med elementer i ringen : $R\$ $1\i R$ $R$ $M\$ $R\$

R\gange M\til M,\quad (r,m)\mapsto rm,

som opfylder følgende betingelser:

en)

\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}r_{2})m=r_{1}(r_{2}m),

\forall m\in M\quad 1m=m.

\forall m_{1},m_{2}\in M,\,\forall r\in R\quad r(m_{1}+m_{2})=rm_{1}+rm_{2},

fire)

\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}+r_{2})m=r_{1}m+r_{2}m.

Bemærk: I tilfælde af en ikke-kommutativ ring kaldes sådanne moduler ofte venstre . I dette tilfælde er højre moduler de objekter, hvor betingelse 1) er erstattet af følgende:

$\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}r_{2})m=r_{2}(r_{1}m),$

hvilket er meget mere praktisk at formulere ved at skrive ringelementet til højre for modulelementet : $m$

$\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad m(r_{1}r_{2})=(mr_{1})r_{2},$ deraf terminologien.

I tilfælde af en kommutativ ring er definitionerne af venstre og højre moduler de samme, og de kaldes simpelthen moduler. $R\$

Enhver ring kan betragtes som et modul over sig selv (i det ikke-kommutative tilfælde er det også et ret modul over sig selv). $R\$

Relaterede definitioner og egenskaber

Et undermodul til et modul er en undergruppe af gruppen , der er lukket under multiplikation med elementer fra , det vil sige sådan, at: $HR}\$ $B\$ $M\$ $R\$

\forall b\in B,\ r\in R\ :rb\in B

Hvis en ring betragtes som et venstremodul over sig selv, så er dens undermoduler efterladte idealer ; hvis ringen betragtes som et rigtigt modul, så af rigtige idealer. I det kommutative tilfælde er begreberne venstre og højre idealer sammenfaldende. $R$

En homomorfi , eller -homomorfi af -moduler , er en gruppehomomorfi, for hvilken den yderligere betingelse er opfyldt . Sættet af alle sådanne homomorfismer er betegnet med . På dette sæt kan man introducere strukturen af en abelsk gruppe ved at definere 0 og følgende ligheder: $R$ $,R$ $EN$ $B$ $\phi :A\til B$ $\phi (ra)=r\phi (a)\foralt a\i A,r\i R$ $Hom_{R}(A,\B)$ $-$ $+$

0a=0,\ (-\phi )a=-(\phi a),\ (\phi +\psi )a=\phi a+\psi a

Hvis er et undermodul til modulet , kan vi betragte kvotientmodulet som et sæt af ækvivalensklasser af elementer ved at definere ækvivalensrelationen mellem elementerne: $N$ $M$ $M/N$ $M$

a\sim b

hvis og kun hvis .

ba

N

Elementerne i faktormodulet betegnes normalt som . Operationerne med addition og multiplikation er defineret af formler . $[a]=\{a+n:n\in N\}=a+N$ $(a+N)+(b+N)=(a+b+N),r\cdot (a+N)=(r\cdot a+N)$

Eksempler

Enhver Abelsk gruppe er et modul over ringen af heltal.
Enhver afgrænset Abelsk gruppe (dvs. en Abelsk gruppe sådan at ) er et modul over ringen af restklasser modulo . $n$ $EN$ $nA=0$ $\mathbb {Z} _{n}$ $n$
Lineært rum over felt er modulo over . $F$ $F$
Lineært rum er et modul over ringen af alle dets lineære transformationer $V$ $L(V)$
Differentialformer på en glat manifold er udstyret med en naturlig modulstruktur over ringen af alle glatte funktioner på . $M$ $M$
Hvis I er et venstreideal af ringen R , så vil det være et venstremodul over denne ring. På samme måde vil rigtige idealer være rigtige moduler.

Modultyper

Endeligt genererede moduler
Cykliske moduler : Et modul siges at være cyklisk, hvis det er genereret af et enkelt element.
Gratis moduler
Projektive moduler
Injektive moduler
Uopløselige moduler : Et modul siges at være uopløseligt, hvis det er ikke-nul og ikke kan dekomponeres i en direkte sum af to ikke-nul-moduler.
Fuldstændig nedbrydelige moduler : moduler, der kan dekomponeres til en direkte sum af uopløselige.
Simple moduler
Semi-enkle moduler
Artin moduler
Noetherske moduler

Historie

De enkleste eksempler på moduler (endelige Abelske grupper, dvs. -moduler) optræder allerede i Gauss som en klassegruppe af binære kvadratiske former. Det generelle koncept for et modul støder man på for første gang i 1960'erne og 1980'erne. XIX århundrede i værkerne af Dedekind og Kronecker , viet til aritmetikken af felter af algebraiske tal og algebraiske funktioner. Studiet af endelig-dimensionelle associative algebraer, og i særdeleshed gruppealgebraerne for endelige grupper (B. Pierce, F. Frobenius ), udført omkring samme tid, førte til studiet af idealerne for nogle ikke-kommutative ringe. Oprindeligt udviklede teorien om moduler sig hovedsageligt som teorien om idealer for en eller anden ring. Først senere, i værkerne af E. Noether og W. Krull, blev det bemærket, at det er mere bekvemt at formulere og bevise mange resultater i form af vilkårlige moduler, og ikke kun idealer. $\mathbb {Z}$

Litteratur

Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra. - M. : IL, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1967.