Operatør norm

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 21. november 2020; checks kræver 2 redigeringer .

En operatornorm er en norm defineret på afgrænsede lineære operatorer fra et normeret rum til et andet. Kaldes også operator , underordnet eller induceret norm .

Operatørnormen transformerer selve operatørernes lineære rum til et normeret rum. Den tilsvarende struktur af det lineære topologiske rum af operatorer kaldes normtopologien eller operatortopologien (uden specifikation ).

Definition og notation

I det følgende vil K betegne hovedfeltet , som er et normeret felt . Normalt K = eller K = . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Lad V 1 og V 2 være to normerede lineære rum over K og T være en lineær operator fra V 1 til V 2 . Hvis der findes et ikke-negativt tal [1] M , således at

\forall x\in V_{1}:\|Tx\|\leqslant M\|x\|,

så kaldes operatoren T begrænset , og den mindst mulige M kaldes dens norm ‖T‖ . Hvis V 1 er endelig -dimensionel , så er hver operator afgrænset.

Normen for operatoren T kan beregnes med formlen [2] :

{\begin{aligned}\|T\|&=\sup\{\|Tx\|:x\in V_{1},\ \|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Tx\|}{\|x\|}}:x\in V_{1},\ x\neq 0\right\}.\end{aligned}}

Hvis mellemrummet V 1 består af et nul , så virker den givne formel ikke, men ‖ T ‖ = 0 fordi T = 0 .

Det lineære rum af afgrænsede operatorer fra V 1 til V 2 er angivet med . I tilfældet, når de skriver i stedet for . Hvis er et Hilbert-rum , så skriver de nogle gange i stedet for . $L(V_{1},V_{2})$ $V_{1}=V_{2}=V$ $L(V)$ $L(V,V)$ $H$ $B(H)$ $L(H)$

Egenskaber

Begrænsning og kontinuitet

Lineær operator mellem normerede rum er så afgrænset og kun når den er kontinuerlig .

Norma

På kan man introducere strukturen af et vektorrum med operationer og , hvor , , og er en vilkårlig skalar. Operatornormen gør det lineære rum af afgrænsede operatorer til et normeret rum , det vil sige, at det opfylder de tilsvarende aksiomer: $L(V_{1},V_{2})$ $(T+S)x=Tx+Sx$ $T(\alpha x)=\alpha (Tx)$ $T,S\in L(V_{1},V_{2})$ $x\in V_{1}$ $\alfa \i K$

$\|T\|\geqslant 0$ (Per definition)
$\|T\|=0$ hvis og kun hvis (følger af definitionen af et normeret rum) $T=0$
$\|\alpha T\|=|\alpha |\|T\|$ for alle $\alfa$ $K$
$\|S+T\|\leqslant \|S\|+\|T\|$ for alle afgrænsede operatorer og fra V 1 til V 2 . $S$ $T$

Submultiplikativitet

Hvis S er en operator fra V 2 til V 3 og T er en operator fra V 1 til V 2 , så er deres produkt S T defineret som en sammensætning af funktioner S ∘ T . Operatørnormen opfylder submultiplikativitetsegenskaben :

\|ST\|\leq \|S\|\|T\|

I tilfældet V 1 = V 2 = V kan afgrænsede operatorer multipliceres uden at forlade rummet , og derfor transformerer operatornormen operatoralgebraen til en normeret algebra . $L(V)$ $L(V)$

Fuldstændighed

Et rum er Banach , hvis og kun hvis V 1 er nuldimensional [3] eller V 2 er Banach. $L(V_{1},V_{2})$

Hvis V er et Banach-rum, så er med multiplikationen introduceret ovenfor en Banach-algebra . $L(V)$

Eksempler på brug

Mellem finit-dimensionelle rum

Operatornormer (for forskellige normer på vektorer) udgør en vigtig klasse af mulige normer på matrixrum .

På Hilbert-rum

Algebraen af afgrænsede operatorer (på et Hilbert-rum H ) med operatornorm er en C*-algebra med involutionsoperationen givet ved hermitisk konjugation . Samtidig er algebraen for kompakte operatører dens lukkede *-subalgebra og endda dens ideal . $L(H)$

Sammenligninger

Operatørnorm med andre normer

Andre, stærkere, normer er også defineret på operatorer på et Hilbert-rum, for eksempel Hilbert-Schmidt-normen . I det uendelige-dimensionelle tilfælde er sådanne normer ikke defineret (uendelig) på nogle afgrænsede operatorer.

Norm topologier med andre

I det endelig-dimensionelle tilfælde (når begge rum V 1 og V 2 er endelig-dimensionelle), er det også endeligt-dimensionelt, og alle topologier (og normer) på et sådant lineært rum er ækvivalente. Men når begge rum V 1 og V 2 er uendelige dimensionelle, er svagere (gropere) topologier mulige : $L(V_{1},V_{2})$ $L(V_{1},V_{2})$

Stærk operatørtopologi ; navnet er misvisende, da det er svagere (groftere) end normtopologien.
Svag operatørtopologi ; endnu svagere (grovere).

Litteratur

Murphy J. C*-algebraer og operatorteori. M.: Faktoriel, 1997. 336s. ISBN 5-88688-016-X
Prasolov VV Problemer og sætninger af lineær algebra. — M .: Nauka, 1996. — 304 s. - ISBN 5-02-014727-3 .

Noter

↑ I det generelle tilfælde et element i det ordnede felt , hvor normaliseringen på K tager værdier .
↑ Problemer og sætninger af lineær algebra, 1996 , s. 210.
↑ I så fald , men den er komplet. $L(V_{1},V_{2})=\{0\}$