Topologi sammenligning

Sammenligning af topologier er et koncept, der giver dig mulighed for at "sammenligne" forskellige topologiske strukturer på det samme sæt . Mættet af alle topologier på et fast sæt danner et delvist ordnet sæt med hensyn til denne relation .

Definition

Lad og være to topologier på et sæt , som er indeholdt i $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2$ $x,$ $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2:$

\mathcal T_1 \subseteq \mathcal T_2.

Dette betyder, at hvert åbent sæt af det første topologiske rum er et åbent sæt af det andet. I dette tilfælde kaldes topologien grovere (nogle gange svagere eller mindre ) end. Derfor kaldes topologien finere ( stærkere , større ). Nogle forfattere, især i calculus lærebøger, bruger udtrykkene "stærk topologi" og "svag topologi" med modsatte betydninger. [en] $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2.$ $\mathcal T_2$

En binær relation definerer en partiel ordensstruktur på sættet af alle mulige topologier i sættet $\subseteq$ $x.$

Eksempler

Den fineste topologi på er den diskrete topologi , hvor alle sæt er åbne. Følgelig er den mest grove topologi den trivielle (eller antidiskrete) topologi. $x$

Den groveste topologi, som opfylder separationsaksiomet T 1 , kaldes T 1 -topologien. En sådan topologi eksisterer altid, den kan eksplicit beskrives som en topologi, hvis lukkede mængder er endelige mængder , og også alle $x,$ $x$ $x.$

Egenskaber

Lad og være to topologier på en mængde Så er følgende udsagn ækvivalente: $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2$ $x.$

$\mathcal T_1\subseteq \mathcal T_2$
Identitetskortlægningen er kontinuerlig . $\text{id}_X: (X,\mathcal T_2)\til (X,\mathcal T_1)$
Identitetskortlægningen er en åben kortlægning (eller tilsvarende en lukket kortlægning ). $\text{id}_X: (X,\mathcal T_1)\til (X,\mathcal T_2)$

Disse udsagn følger også umiddelbart af definitionerne:

Et kontinuerligt kort forbliver kontinuerligt, hvis topologien på erstattes af en grovere (henholdsvis er topologien på erstattet af en finere). $f:X\til Y$ $Y$ $x$
En åben mapping vil forblive åben, hvis topologien på erstattes med en finere (henholdsvis er topologien på erstattet med en grovere). Et lignende udsagn gælder for lukkede kortlægninger. $f:X\til Y$ $Y$ $x$

Gittertopologier

Sættet af topologier danner ikke et komplet gitter med hensyn til relationen , hvilket betyder, at en vilkårlig familie af topologier har en bedste bund og en bedste nedre grænse. Det nøjagtige infimum er simpelthen skæringspunktet mellem topologierne. På den anden side er foreningen af topologier ikke nødvendigvis en topologi, og den mindste øvre grænse for en familie af topologier er topologien, som deres forening er en præbase for . $x$ $\subseteq.$

Ethvert komplet gitter er også afgrænset , i tilfælde af topologier svarer dette til begreberne diskret og antidiskret topologi.

Noter

↑ Munkres, James R. (2000). Topologi (2. udgave). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pp. 77-78. ISBN 0-13-181629-2 .