Matematisk grundlag for kvantemekanik

Kvantemekanikkens matematiske grundlag er en metode til matematisk modellering af kvantemekaniske fænomener accepteret i kvantemekanikken , som gør det muligt at beregne de numeriske værdier af mængder observeret i kvantemekanikken. De blev skabt af Louis de Broglie [1] (opdagelse af stofbølger ), W. Heisenberg [2] (skabelse af matrixmekanik , opdagelse af usikkerhedsprincippet ), E. Schrödinger [3] ( Schrödinger-ligning ), N. Bohr [4] (formuleringskomplementaritetsprincip ) . P. A. M. Dirac fuldendte skabelsen af det matematiske grundlag for kvantemekanikken og gav dem en moderne form [5] [6] . Et karakteristisk træk ved kvantemekanikkens matematiske ligninger er tilstedeværelsen i dem af symbolet på Plancks konstant .

Observerbare og tilstandsvektorer

Observerbare størrelser og tilstande bruges som hovedkarakteristika til at beskrive fysiske systemer i kvantemekanik.

De observerede mængder er modelleret af lineære selvadjointerende operatorer i et komplekst adskilleligt Hilbert-rum (tilstandsrum) [7] . Hver fysisk størrelse svarer til en lineær hermitisk operator eller matrix. For eksempel svarer radiusvektoren for en partikel til multiplikationsoperatoren , partikelmomentet svarer til operatoren , og vinkelmomentet svarer til operatoren $x$ $x$ ${\hat {p}}=-i\hbar \nabla$

\hbar {\hat {L}}={\hat {x}}\ gange {\hat {p}}=-i\hbar \times \nabla .

Tilstande er modelleret af klasser af normaliserede elementer i dette rum (tilstandsvektorer), som kun adskiller sig fra hinanden af en kompleks faktor, med en enhedsmodul (normaliserede bølgefunktioner). [7]

Bølgefunktioner opfylder kvanteprincippet om superposition : hvis to mulige tilstande er repræsenteret af bølgefunktioner, og så er der en tredje tilstand repræsenteret af bølgefunktionen $\psi_{{1}}$ $\psi_{{2}}$

\psi =c_{1}\psi _{1}+c_{2}\psi _{2},

hvor og er vilkårlige amplituder [8] . $c_{{1}}$ $c_{2}$

Resultatet af en nøjagtig måling af en fysisk størrelse kan kun være egenværdierne for denne operator . [7] $EN$ $\widehat {A}$

Den matematiske forventning til størrelsesværdierne i staten beregnes som . Her angiver parenteser skalarproduktet af vektorer (i matrixrepræsentation, det diagonale matrixelement). [7] $\overline {A}$ $EN$ $\psi$ $\overline {A}=(\psi ,\widehat {A}\psi )$

Tilstanden vektorer og beskriver den samme tilstand, hvis og kun hvis hvor er et vilkårligt komplekst tal. Hver observerbar er unikt forbundet med en lineær selvadjoint operator [9] . Sandsynlighedsfordelingen af mulige værdier af den observerede mængde i staten er givet af foranstaltningen [10] : $\psi_{1}$ $\psi_{2}$ $\psi _{2}=c\psi _{1},$ $c$ $EN$ $\psi$

dm_{{\widehat {A)),\psi }(a)=d(E_{a}\psi ,\psi ),

hvor er en selvadjoint operatør svarende til den observerede mængde , er tilstandsvektoren , er operatørens spektrale funktion , parenteser angiver skalarproduktet af vektorer . Observerede mængder og tilstandsvektorer kan udsættes for en vilkårlig enhedstransformation $\widehat {A}$ $-en$ $\psi$ $E_{{a}}$ $\widehat {A}$

\psi \rightarrow U\psi ,A\rightarrow UAU^{-1}.

I dette tilfælde ændres enhver meningsfuld fysisk størrelse ikke. Observerbare værdier er samtidig målbare, hvis og kun hvis de tilsvarende selvadjoint-operatorer pendler (pendler). $(A\psi ,\psi )$

Det komplette sæt af fælles observerede mængder

Samobserverede størrelser er størrelser, der kan måles samtidigt. Et sæt operatører danner et komplet sæt af fælles observerede mængder, hvis betingelserne for kommutativitet ( for alle ), gensidig uafhængighed (ingen af operatørerne kan repræsenteres som en funktion af de andre), fuldstændighed (der er ingen operatør, der pendler med alle) og er ikke en funktion af dem). For et givet værdisæt kan tilstandsrummet implementeres som et funktionsrum med et prikprodukt: $A_{{i}},i=1,...k$ $\left[A_{i},A_{j}\right]=0$ $i,j=1,...k$ $A_{{i}}$ $A_{{i}}$ $\psi (a_{1},...a_{k})$

(\psi _{1},\psi _{2})=\int \psi _{1}(a_{1},...a_{k}){\overline {\psi _{2 }(a_{1},...a_{k})}}d\mu (a_{1},...a_{k}).

Operatørerne er multiplikationsoperatorer med de tilsvarende variable: $A_{{i}}$

A_{i}\psi (a_{1},...a_{k})=a_{i}\psi (a_{1},...a_{k}).

Fælles fordeling af observerbare værdier:

P(a_{1},...a_{k})=\venstre|\psi (a_{1},...a_{k})\right|^{2}d\mu (a_ {1},...a_{k}).

Angiv rum og observerbar vektor for en partikel

I tilfælde af en partikel i tredimensionelt rum er de observerbare størrelser koordinaterne og momenta . $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ $Q_{{1}}, Q_{{2}}, Q_{{3}}$ $P_{{1}},P_{{2}},P_{{3}}$

I Schrödinger-repræsentationen (tilpasset til koordinater) er tilstandsrummet dannet af kvadratiske integrerbare funktioner med et indre produkt: $\psi(x)$

(\psi _{1},\psi _{2})=\int \psi _{1}(x){\overline {\psi _{2}(x)))dx.

Koordinatoperatorerne er multiplikationsoperatorerne:

{\widehat {x_{j}}}\psi (x)=x_{j}\psi (x),j=1,2,3.

Momentumoperatorerne er differentieringsoperatorer:

{\widehat {p_{j))}\psi (x)=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{j))}\psi (x),j=1,2 ,3.

Kommuteringsrelationer

Kartesiske koordinatoperatorer og momentumoperatorer opfylder kommuteringsrelationerne : $\widehat {x_{i}}$ $\widehat {p_{i}}$

\left[{\widehat {p_{i}}},{\widehat {x_{k}}}\right]=-i\hbar \delta _{ik},

\left[{\widehat {p_{i}}},{\widehat {p_{k}}}\right]=0,

\left[{\widehat {x_{i}}},{\widehat {x_{k}}}\right]=0.

Her er Plancks konstant . [7] $\hbar$

Hamiltons ligninger

Matrixelementerne i de kartesiske koordinatoperatorer og momentumoperatorer opfylder ligninger svarende til Hamiltons i klassisk mekanik: $\widehat {x_{i}}$ $\widehat {p_{i}}$

{\frac {d}{dt}}(f,{\widehat {p_{i}}}g)=-(f,{\frac {\partial {\widehat {H}}}{\partial {\widehat {x_{i}}}}}}g),

{\frac {d}{dt}}(f,{\widehat {x_{i}}}g)=(f,{\frac {\partial {\widehat {H}}}{\partial { \widehat {p_{i}}}}}g).

Her er operatøren svarende til Hamilton-funktionen i klassisk mekanik. [7] $\widehat {H}$

Schrödingers ligning

Udviklingen af den rene tilstand af Hamilton-systemet i tid bestemmes af den ikke-stationære Schrödinger-ligning

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))={\hat {H))\psi ,

hvor er Hamiltonian: ${\hat {H}}$

{\hat {H}}=-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\left({\frac {{{\partial }^{2}}{}} {{{\partial }x}^{2}}}+{\frac {({\partial }^{2}}{}}{{{\partial}y}^{2}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}{}}{{{\partial}z}^{2}}}\right)}+{{\hat {E}}_{\rm {pot}}} .

Stationære, det vil sige tilstande, der ikke ændrer sig med tiden, bestemmes af den stationære Schrödinger-ligning:

{{\hat {H}}{\psi }}={E{\psi }}.

Det antages også, at udviklingen af et kvantesystem er en Markov-proces , og antallet af partikler er konstant [11] . Disse bestemmelser gør det muligt at skabe et matematisk apparat, der er egnet til at beskrive en lang række problemer inden for kvantemekanik af Hamiltonske systemer i rene tilstande. En videreudvikling af dette apparat er kvantefeltteori , som normalt beskriver kvanteprocesser med et variabelt antal partikler. Tæthedsmatricen bruges til at beskrive tilstande af åbne, ikke-Hamiltonske og dissipative kvantesystemer , og Lindblad-ligningen bruges til at beskrive udviklingen af sådanne systemer . For at beskrive kvante -ikke-Markov-processer foreslås normalt forskellige generaliseringer af Lindblad-ligningen.

Identitetsprincip

I ethvert par af identiske elementarpartikler kan elementarpartikler ombyttes uden udseendet af en fysisk ny tilstand. Matematisk betyder identitetsprincippet en betingelse om permutationsoperatorens egenværdier : [12] . $\lambda =\pm 1$ ${\displaystyle P_{kj))$ $P_{kj}\psi =\lambda \psi$

Tilstande c er antisymmetriske (fermioner med halvt heltals spin), c er symmetriske (bosoner med heltals spin). $\lambda =-1$ $\lambda =+1$

Se også

Noter

↑ L. de Brogile, Ann. d. fys. (10), 3, 22, 1925
↑ W. Heisenberg, ZS f. Phys. 33, 879, 1925
↑ E. Schrodinger, Ann. d. fys. (4), 79, 361, 489, 734 1926
↑ N. Bohr, Naturwissensch. 16, 245, 1928
↑ Dirac P. A. M. Kvantemekaniks principper. - M. : Nauka, 1979. - 409 s.
↑ Kuznetsov B. G. Grundlæggende ideer om kvantemekanik. // Essays om udvikling af grundlæggende fysiske ideer. - Svar. udg. Grigoryan A. T. , Polak L. S. - M .: USSRs Videnskabsakademi, 1959. - Oplag 5.000 eksemplarer. - S. 390-421
↑ 1 2 3 4 5 6 Elyutin, 1976 , s. 25.
↑ Blokhintsev, 1963 , s. 577.
↑ Berezin F. A., Shubin M. A. Schrödinger-ligning. - M . : Forlag i Moskva. un-ta, 1983.
↑ Crane S. G. Funktionsanalyse. — M .: Nauka, 1972.
↑ Selvom det ikke er påkrævet.
↑ Blokhintsev, 1963 , s. 579.

Litteratur

Dirac P. A. M. Kvantemekaniks principper. - M. : Nauka, 1979. - 409 s.
Bogolyubov N. N., Logunov A. A., Todorov I. T. Grundlæggende om den aksiomatiske tilgang i kvantefeltteori. M.: Nauka, 1969. 424 s.
Bogolyubov N. N., Logunov A. A., Oksak A. I., Todorov I. T. Generelle principper for kvantefeltteori. M.: Nauka, 1987. 616s.
Bratteli W., Robinson D. Operatoralgebraer og kvantestatistisk mekanik. M.: Mir, 1982. 512s.
J. von Neumann Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, M.: Nauka 1964.
Emh Zh. Algebraiske metoder i statistisk mekanik og kvantefeltteori. M.: Mir, 1976. 424 s.
Holevo AS Probabilistiske og statistiske aspekter af kvanteteori. M.: Nauka, 1980. 320'erne.
Holevo AS Statistisk struktur af kvanteteori. Moskva, Izhevsk: RHD 2003. 188s.
Sardanashvili G. A. Moderne metoder til feltteori. 3. Algebraisk kvanteteori. Moskva: URSS 1999. 214s.
Elyutin P. V. , Krivchenkov V. D. Kvantemekanik med problemer. - M. : Nauka, 1976. - 336 s.
Blokhintsev D. I. Grundlæggende om kvantemekanik. - M . : Højere skole, 1963. - 520 s.
McKee J. Forelæsninger om kvantemekanikkens matematiske grundlag. — M .: Mir, 1965. — 220 s.