Heisenberg repræsentation

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 14. august 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Heisenberg- repræsentationen er en af måderne til at beskrive kvantemekaniske fænomener , hvor udviklingen af et system er beskrevet af Heisenberg-ligningen og kun bestemmes af udviklingen af operatører i tid, og tilstandsvektoren er ikke afhængig af tid.

Beskrivelse af Heisenberg-repræsentationen

Ifølge kvantemekanikkens postulater er hver fysisk størrelse forbundet med en lineær selvadjoint-operator , og en ren tilstand er beskrevet af en vektor fra Hilbert-rummet . I Heisenberg-repræsentationen afhænger tilstandsvektoren ikke af tid, og systemets udvikling er beskrevet af ligningen: ${\hat A}$ $|\psi\rangle$

${\frac {d}{dt}}{\hat {A}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\ hat {A}}_{H}(t)]+{\frac {\partial {\hat {A}}_{S}}{\partial t)),$

hvor den partielle afledte betyder den fysiske størrelses eksplicitte afhængighed af tid.

Forholdet mellem operatører i Schrödinger- og Heisenberg-repræsentationerne

Lad være operatør i Schrödinger-repræsentationen og vær operatør i Heisenberg-repræsentationen. Så er overgangen fra en repræsentation til en anden bestemt af en enhedstransformation: ${\hat A}(t)$ ${\hat A}_{H}(t)$

${\hat A}_{H}(t)={\hat S}(t_{0},t){\hat A}(t){\hat S}(t,t_{0}),$

hvor er udviklingsoperatoren: ${\hat S}(t,t_{0})$

{\hat S}(t,t_{0})=T\venstre\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}

{\hat S}(t,t_{0})=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{{t_ {0}}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t<t_{0}

hvor er tidsbestillings- og anti-bestillingsoperatørerne. Især hvis Hamilton-operatøren ikke er afhængig af tid, så $T,\overline {T}$

{\hat S}(t,t_{0})=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}{\hat H}(t-t_{0})}\right),

og enhedstransformationen har formen:

{\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t )e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.

Overgangen fra Schrödinger-repræsentationen til Heisenberg-repræsentationen

Tilstandsvektoren i Schrödinger-repræsentationen opfylder Schrödinger-ligningen:

{\hat H}(t)\venstre|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,

hvor er Hamilton-operatøren . ${\hat H}(t)$

Vi introducerer evolution-operatoren , som overfører systemets tilstand fra det første tidspunkt til et hvilket som helst andet tidspunkt: ${\hat S}(t,t_{0})$

{\hat {S}}(t,t_{0})\venstre|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle .\qquad ( 2)

Ved at erstatte formlen (2) i Schrödinger-ligningen, opnår vi, at evolutionsoperatoren opfylder ligningen:

i\hbar {\partial \over \partial t}{\hat {S}}(t,t_{0})={\hat {H}}(t){\hat {S}}(t ,t_{0}),\qquad(3)

{\hat {S}}(t_{0},t_{0})={\hat {I)),

hvor er identitetsoperatøren. Især hvis Hamiltonian ikke er afhængig af tid, så har evolutionsoperatøren formen: ${\hat jeg}$

{\hat {S}}(t,t_{0})=e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.

Overvej nu middelværdien af operatøren af nogle observerbare: $\hat A$

\langle {\hat {A}}(t)\rangle =\langle \Psi (t)|{\hat {A}}(t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi ( t_{0})|{\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}}(t,t_{0})|\Psi ( t_{0})\rangle =\langle \Psi (t_{0})|{\hat {A}}_{H}(t)|\Psi (t_{0})\rangle .

Således er operatoren i Heisenberg-repræsentationen defineret af formlen: $\hat A$

{\hat {A}}_{H}(t)={\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}} (t,t_{0}).\qquad(4)

Især hvis Hamiltonian ikke er afhængig af tid, så

{\hat {A}}_{H}(t)=e^{i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }{\hat {A}}(t )e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }.

Vi differentierer formlen med hensyn til tid og bruger ligningen , så får vi bevægelsesligningen for operatoren i Heisenberg-repræsentationen: $(4)$ $(3)$ ${\hat A}(t)$

{d \over dt}{\hat {A}}_{H}(t)={i \over \hbar }[{\hat {H}}(t),{\hat {A}} _{H}(t)]+{\partial \over \partial t}{\hat {A}}_{H}(t),\qquad (5)

hvor den partielle afledte angiver operatørens eksplicitte afhængighed af tid. ${\hat A}(t)$

Eksempel. Kvante harmonisk oscillator.

Hamilton-operatoren for en kvanteharmonisk oscillator i repræsentationen af skabelses- og tilintetgørelsesoperatorerne har formen:

{\hat {H}}=\hbar \omega ({\hat {a}}_{H}^{\dolk }{\hat {a}}_{H}+1/2).

Da operatørerne af skabelse og tilintetgørelse ikke afhænger af tid i Schrödinger-repræsentationen, kan ligningen omskrives som $(5)$

i\hbar {d \over dt}{\hat a}_{H}(t)=-\hbar \omega [{\hat a}_{H}^{\dolk }{\hat a}_{H }+1/2,{\hat a}_{H}(t)],

i\hbar {d \over dt}{\hat a}_{H}(t)=\hbar \omega {\hat a}_{H}(t),

{\hat a}_{H}(t)={\hat a}e^{{-i\omega (t-t_{0))))),

{\hat {a}}_{H}^{\dolk }(t)={\hat {a}}^{\dolk}e^{i\omega (t-t_{0})} ,

hvor (anti)kommuteringsrelationerne for udslettelses- og skabelsesoperatørerne blev brugt $[{\hat {a)],{\hat {a))^{\dolk }]_{\mp }=1.$

Ansøgning

Heisenberg-repræsentationen bruges i relativistisk teori såvel som i problemer med statistisk fysik.

Se også

Litteratur

Afsnit 6. Repræsentation af Schrödinger og Heisenberg // Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Kvantefelter. — M.: Nauka, 1980. — S. 55-56.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantemekanik (ikke-relativistisk teori). - 6. udgave, revideret. — M .: Fizmatlit , 2004. — 800 s. - (" Teoretisk fysik ", bind III). — ISBN 5-9221-0530-2 . Afsnit 13. Heisenberg repræsentation af operatører.
Afsnit 10. Heisenberg-repræsentationen. Kapitel VIII // Messias A. Kvantemekanik. - M .: Nauka, 1978. - S. 306-307.
Afsnit 3.4. Heisenberg billede // Sudbury A. Kvantemekanik og elementær partikelfysik. — M.: Mir, 1989. — S. 154-155.
Serbo V. G., Khriplovich I. B. Kvantemekanik: Lærebog. - Novosibirsk: Publishing House of the Novosibirsk State University, 2008. - 274 s. — ISBN 978-5-94356-642-4