Korrelationsfunktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. september 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Korrelationsfunktion - en funktion af tid og rumlige koordinater , som sætter korrelationen i systemer med tilfældige processer.

Definition

Den tidsafhængige korrelation af to tilfældige funktioner og er defineret som: $X(t)$ $Y(t)$

$C(t,t^{\prime })=\langle X(t)Y(t^{\prime })\rangle$

hvor vinkelparenteserne angiver gennemsnitsproceduren.

Hvis korrelationsfunktionen beregnes for den samme proces, kaldes den autokorrelation :

$C_{auto}(t,t^{\prime })=\langle X(t)X(t^{\prime })\rangle$ .

På samme måde kan vi beregne korrelationsfunktionen for processer, der forekommer på forskellige punkter i rummet på forskellige tidspunkter:

$C(t,\mathbf {r} ,t^{\prime },\mathbf {r} ^{\prime })=\langle X(t,\mathbf {r} )Y(t^{\ primtal },\mathbf {r} ^{\primtal })\rangle$ .

Korrelationsfunktioner er meget brugt i statistisk fysik og andre discipliner, der studerer tilfældige (stokastiske) processer .

Korrelationsfunktion i statistisk fysik

I statistisk fysik beskriver korrelationsfunktionen, hvordan mikroskopiske variable (såsom atomernes hastigheder ) er relateret på forskellige punkter i rummet på forskellige tidspunkter. Den mest generelle definition er som følger:

$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} ,t,\tau \right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{ 2}\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} ,t+\tau \right)\right\rangle$

hvor er de funktioner, hvis korrelationer vi ønsker at studere, vinkelparenteserne betyder gennemsnit over det statistiske ensemble (for eksempel over det kanoniske ). $f_{1},f_{2}$

Simultane korrelationsfunktioner

Hvis vi er interesseret i, om mikroskopiske variabler ændrer sig på en korreleret måde på det samme tidspunkt på forskellige punkter i rummet , kan vi betragte funktioner på samme tidspunkt, så vil deres korrelationsfunktion blive skrevet som: $f_{1},f_{2}$

$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} ,t\right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{2}\ venstre(\mathbf {R} +\mathbf {r} ,t\right)\right\rangle$

sådan en korrelationsfunktion kaldes simultan .

På samme måde kan man indføre en samtidig korrelationsfunktion for tilfældet, når der ikke er to funktioner, men s stykker: $f_{1},f_{2}$

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n}\right)=\left\langle f_{1 }\left(\mathbf {r} _{1},t\right)\dots f_{s}\left(\mathbf {r} _{n},t\right)\right\rangle$

Rumlige korrelationsfunktioner

Nogle gange er det nødvendigt at overveje den tidsmæssige udvikling af mikroskopiske variabler. Til dette bruges den rumlige korrelationsfunktion :

$G\left(\mathbf {R} ,t,\tau \right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{2}\left(\ mathbf {R} ,t+\tau \right)\right\rangle$

Samtidig er det vigtigt at forstå, at på trods af, at nogle makroskopiske variable i ligevægt ikke afhænger af tid, kan mikroskopiske variable (som f.eks. en partikels hastighedsvektor) afhænge af tid, og derfor sådanne korrelationsfunktioner, som i det væsentlige er makroskopiske størrelser, kan også afhænge af tid.

Eksempler

Et eksempel på korrelationsfunktioner er den radiale fordelingsfunktion .

Magnetisme

Et andet klassisk eksempel på korrelationsfunktioner er det i spin-systemet , hvor det beskriver deres skalære produkt i gennemsnit over ensemblet :

$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} \right)=\left\langle S\left(\mathbf {R} \right)S\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} \right)\right\rangle -\left\langle S\left(\mathbf {R} \right)\right\rangle \left\langle S\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} \right)\right\rangle$ hvor S er partiklens spin , parenteser angiver ensemblegennemsnit .

Selv i den paramagnetiske fase er spinnene korrelerede, da hvis afstanden mellem dem er lille, finder der en interaktion sted mellem spinsene, hvilket fører til, at spinsene er korrelerede, men deres videre bestilling forhindres af termisk bevægelse . Derfor viser det sig, at korrelationerne mellem spins falder eksponentielt med stigende afstand mellem dem:

$G\left(\mathbf {r} \right)\ca. {\frac {1}{\mathbf {r} ^{2-d+\eta ))}\exp \left({\frac {-\ mathbf {r} }{\xi }}\right))$

hvor er afstanden mellem spins, d er dimensionen , er den såkaldte. kritisk indeks . Når temperaturen falder, svækkes den termiske bevægelse, og korrelationsradius har en tendens til uendelig: $\mathbf {r}$ $\eta$ $\xi$

$\xi \sim \left|T-T_{c}\right|^{-\nu }$

hvor er et andet kritisk indeks , er Curie-temperaturen . $\nu$ $T_{c}$

Som en konsekvens af denne formel sker der en andenordens faseovergang i sådanne systemer .

Korrelationstæthedsfunktionen af antallet af partikler af orden s

Især kan vi som et eksempel betragte korrelationsfunktionen af tætheden af antallet af partikler af orden s - dette er en funktion af formen

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left\langle {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{s}\right)\right\rangle$

hvor værdien

${\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{jeg})$

kaldes den mikroskopiske tæthed af antallet af partikler i den forstand, at ved at integrere det over et bestemt volumen V , kan vi finde antallet af partikler i det:

$\int _{V}{\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} \mathbf {r} =N_{V}$

I tilfældet s = 2 kaldes korrelationsfunktionen af densiteten af antallet af partikler for parfunktionen.

Forbundet korrelationsfunktion af partikelantalsdensitet

Konceptet med en forbundet korrelationsfunktion af tætheden af antallet af partikler introduceres også : dette er en sådan korrelationsfunktion, der har tendens til 0, hvis partiklerne er opdelt i 2 grupper, og derefter har afstanden, der adskiller disse grupper, tendens til uendelig. Udtrykket "forbundet" betyder, at den diagrammatiske udvidelse for en sådan korrelationsfunktion kun indeholder forbundne diagrammer. $\left(\mathbf {r} _{i_{1}}\dots \mathbf {r} _{i_{l}}\right)$ $\left(\mathbf {r} _{j_{1}}\dots \mathbf {r} _{j_{m}}\right),\ l+m=s$

Der er en såkaldt. princippet om svækkelse af korrelationer : mangepartikelfordelingsfunktionerne i et klassisk system nedbrydes i produkter af mangepartikelfordelingsfunktioner med et mindre antal argumenter med en uendelig stigning i forskellene mellem de tilsvarende argumenter [1] , hvorfra, det følger især:

$G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=G^{\left(2\right) }\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)$

Derfor kan vi skrive følgende udtryk for den to-partikelforbundne korrelationsfunktion af partikelantalsdensiteten:

$G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=G^{\left(2 \right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)-G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _ {1}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\right)$

Forbundne korrelationsfunktioner af tætheden af en højere orden af antallet af partikler introduceres på samme måde:

$G^{\left(3\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)= G_{coh}^{\left(3\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)+ G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\ højre)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{3}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r } _{1},\mathbf {r} _{2}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{3}\right)+G_{coh}^ {\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{3}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right) G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)$

Genererer funktionel

For korrelationsfunktionerne af densiteten af antallet af partikler kan en genererende funktion konstrueres :

$G\left(a\right)=\left\langle e^{\int a\left(\mathbf {r} \right){\hat {n))\left(\mathbf {r} \right )\mathrm {d} \mathbf {r} }\right\rangle$

Derefter introduceres tæthedskorrelationsfunktionen som en variationsafledt af den genererende funktional:

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r_{1)) ,\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left.{\frac {\ delta ^{s}G\left(a\right)}{\delta a\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots \delta a\left(\mathbf {r_{s)) \ højre)}}\right|_{a=0}$

På samme måde kan en forbundet korrelationsfunktion introduceres:

$G_{coh}^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left.{ \frac {\delta ^{s}W\left(a\right)}{\delta a\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots \delta a\left(\mathbf {r} _{s}\right)}}\right|_{a=0}$

hvor

$W\left(a\right)=\ln \left(G\left(a\right)\right)$

Fysisk betydning

Korrelationsfunktionen er et mål for systemets orden. Det viser, hvordan mikroskopiske variable korrelerer på forskellige tidspunkter på forskellige tidspunkter i gennemsnit.

Den fysiske betydning af korrelationsfunktionen af densiteten af antallet af partikler er, at den viser sandsynlighedens tæthed for det relative arrangement af s partikler. Forekomsten af korrelationer skyldes tilstedeværelsen af interaktion mellem partikler, på grund af hvilken kortrækkende orden opstår .

Det er vigtigt at bemærke, at følgende forhold gælder:

$G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=\left\langle \delta { \hat {n}}\left(\mathbf {r} _{1}\right)\delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{2}\right)\right\rangle$

hvor er tæthedsudsvinget . Den forbundne korrelationsfunktion af partikelantalsdensiteten beskriver således fluktuationerne af sandsynlighedstætheden for partiklernes relative position. $\delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)={\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)-\left\langle {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\right\rangle$

Derudover kan korrelationsfunktioner i den mest generelle form bruges til at finde andre udsving, såsom udsving i antal partikler og temperatur.

Korrelationsfunktion i kvantefeltteori

I kvantefeltteori introduceres definitionen af en n-punktskorrelationsfunktion gennem produktet af n kronologisk ordnede felter : ${\displaystyle C_{n}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}):=\left\langle T\phi (x_{1})\phi (x_{2})\ ldots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D))\phi \;Te^{-S[\phi ]}\phi (x_{1})\ ldots \phi (x_{n})}{\int {\mathcal {D}}\phi \;Te^{-S[\phi ]))))$

hvor — kronologisk bestillingsoperator , — handling . $T$ $S$

Korrelationsfunktionen omtales også ofte blot som korrelatoren .

Korrelationsfunktion i højenergifysik

I højenergifysik er korrelationsfunktionen et mål for sammenhængen mellem nogle observerbare størrelser . I studiet af hadron -hadron- kollisioner (for eksempel proton -proton eller nuklear-nuklear ) er analysen af korrelationer mellem forskellige observerbare størrelser, for eksempel mellem tværgående momenta eller multiplicitet af sekundære partikler produceret som et resultat af en kollision, alment benyttet.

Når man studerer sådanne processer, er det sædvanligt at bruge variabler som hastighed eller pseudo -hastighed . Normalt betragtes to intervaller (kaldet vinduer ) i hurtighedens rum, placeret på modsatte sider af kollisionspunktet for kolliserende partikelstråler i acceleratoren , derfor er de korrelationer , der opstår i dette tilfælde mellem de observerede størrelser, som er funktioner af hurtighed (eller pseudo -hurtighed ) kaldes ofte "forlæns-tilbage-korrelationer" .

Lad os for bestemthed se på de såkaldte "multiplicitet-multiplicitetskorrelationer", hvor multiplicitet er en funktion, der specificerer antallet af partikler med hastighed, der hører til et givet interval. I dette tilfælde introduceres korrelationsfunktionen som afhængigheden af den gennemsnitlige multiplicitet i et (normalt højre) hastighedsinterval af multipliciteten i et andet interval. I tilfælde af en lineær korrelationsfunktion har vi følgende udtryk for den:

${\displaystyle {\langle n_{f}\rangle }_{\langle n_{b}\rangle }=a+b\cdot n_{b))$

Denne antagelse er helt i overensstemmelse med de eksperimentelle data opnået ved forskellige partikelacceleratorer , herunder SPS og Fermilab . Værdien af b fra formlen ovenfor kaldes langrækkende korrelationskoefficient. Som en konsekvens af formlen ovenfor kan man opnå følgende formel for korrelationskoefficienten:

$b={\frac {\left\langle n_{b}n_{f}\right\rangle -\left\langle n_{f}\right\rangle \left\langle n_{b}\right\rangle }{D_{n_{f}}}}}$

Korrelationskoefficienten fundet på denne måde gør det muligt at studere fysikken i fænomener, der opstår i hadron-kollisioner . Især kan forskellen mellem korrelationskoefficienten fra nul betyde, at de undersøgte mængder (i dette tilfælde multipliciteten i de forreste og bageste vinduer) på en eller anden måde er relateret, men de resulterende afhængigheder har ikke nødvendigvis årsagssammenhænge .

Estimering af korrelationsfunktioner og dens funktioner

Vurderingen af inputhandlingerne af ACS, der er nødvendige for beregningen af korrelationsfunktionerne, udføres eksperimentelt ved at observere deres implementering i lang tid T og med beregningen i henhold til følgende formel: $r_{x}(\tau )=1/T\int \limits _{0}^{T}x(t)x(t+\tau )dt$

Litteratur

Bakke. T. Statistisk mekanik, M., 1960
Cooney F. M. Statistisk fysik og termodynamik, M.: Nauka, 1981
Bogolyubov N. N., Shirkov D. V., Quantum fields, 2. udgave, M., 1993
A. A. Abrikosov, L. P. Gorkov, I. E. Dzyaloshinskii. Metoder til kvantefeltteori i statistisk fysik., M., Fizmatgiz, 1962
Fysisk encyklopædi (red. Prokhorov)
Akhiezer A. I., Peletminsky S. V., Metoder til statistisk fysik, M: Nauka, 1977

Se også

Korrelation

Autokorrelationsfunktion

Den store Hadron Collider

Noter

↑ Akhiezer A. I., Peletminsky S. V., Methods of statistical physics, M: Nauka, 1977 - s. 111