Autokorrelationsfunktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. maj 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Autokorrelationsfunktion - afhængigheden af forholdet mellem funktionen (signalet) og dens forskudte kopi af størrelsen af tidsskiftet.

For deterministiske signaler bestemmes signalets autokorrelationsfunktion ( ACF ) af integralet : $f(t)$

\Psi (\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)f^{*}(t-\tau )\mathrm {d} t

og viser forbindelsen af signalet (funktion ) med en kopi af sig selv, forskudt med værdien . Stjernen betyder kompleks konjugation . $\;f(t)$ $\tau$

For tilfældige processer har ACF for en tilfældig funktion formen [1] : $X(t)$

{\displaystyle K(\tau )=\mathbb {E} \{X(t)X^{*}(t-\tau )\))

hvor er den matematiske forventning , stjernen betyder kompleks bøjning . ${\displaystyle \mathbb {E} \{\ \))$

Hvis den oprindelige funktion er strengt periodisk , så vil grafen for autokorrelationsfunktionen også have en strengt periodisk funktion. Ud fra denne graf kan man således bedømme periodiciteten af den oprindelige funktion og følgelig dens frekvenskarakteristika. Autokorrelationsfunktionen bruges til at analysere komplekse fluktuationer , for eksempel et menneskeligt elektroencefalogram .

Ansøgning i teknik

Korrelationsegenskaber for kodesekvenser, der anvendes i bredbåndssystemer, afhænger af typen af kodesekvens, dens længde, frekvensen af dens symboler og dens symbol-for-symbol struktur.

Studiet af ACF spiller en vigtig rolle i valget af kodesekvenser med hensyn til den laveste sandsynlighed for at etablere falsk synkronisering.

Andre anvendelser

Autokorrelationsfunktionen spiller en vigtig rolle i matematisk modellering og tidsserieanalyse , der viser de karakteristiske tider for de undersøgte processer (se f.eks.: Turchin P.V. Historical dynamics. M .: URSS , 2007. ISBN 978-5-382-00104 -3 ). Især svarer cyklusser i dynamiske systemers opførsel til maksima for autokorrelationsfunktionen for en karakteristisk parameter.

Hastighedsberegning

Det er ofte nødvendigt at beregne autokorrelationsfunktionen for en tidsserie . Head-on beregning virker for . Der er dog en måde at gøre det på . $x_{i}$ $O(T^2)$ $O(T\log T)$

Metoden er baseret på Khinchin-Kolmogorov (alias Wiener-Khinchin) teoremet, som siger, at et signals autokorrelationsfunktion er Fourier-transformationen af dets spektrale effekttæthed . Da der er en hurtig Fourier-transformationsalgoritme for diskrete signaler til beregning af deres spektre , som har en rækkefølge af kompleksitet , er det muligt at fremskynde beregningen af autokorrelationsfunktionen ved at beregne signalspektret, derefter dets effekt (kvadraten af modulet ) og derefter den inverse Fourier-transformation. $O(T\log T)$

Essensen af metoden er som følger. Du kan lave en omvendt en-til-en-datatransformation, kaldet Fourier-transformationen , som vil sætte dem i en en-til-en-korrespondance med et datasæt i et andet rum, kaldet frekvensrummet (signalets frekvensspektrum - - sættet af spektrale amplituder). I stedet for direkte at beregne autokorrelationsfunktionen på vores indledende data, kan vi udføre operationen svarende til den på de tilsvarende data i Fourier-spektrets frekvensrum, hvilket sker i lineær tid O (T) - beregningen af autokorrelationsfunktionen i frekvensrummet svarer til beregningen af frekvenseffekterne ved at kvadrere modulerne af spektralamplituderne. Derefter vil vi ved hjælp af de opnåede spektralkræfter gendanne værdierne af autokorrelationsfunktionen svarende til dem i almindeligt rum. Beregningen af spektret fra en funktion og omvendt udføres ved hjælp af den hurtige Fourier-transformation , beregningen af den spektrale effekttæthed i frekvensrummet udføres i O(T). Dermed har vi opnået en tidsgevinst i beregningerne. $O(T\log T)$

Uddannelse. Træk det aritmetiske gennemsnit fra rækken . Lad os konvertere til komplekse tal . Udfyldning med nuller til . Tilføj derefter flere nuller til slutningen. $2^k$ $2^k$

Beregning. Autokorrelationsfunktionen beregnes ved hjælp af den hurtige Fourier-transformation og er direkte proportional med de første elementer i sekvensen $n$

\Psi(\tau) \sim \operatørnavn{Re} \operatørnavn{fft}^{-1}\left(\left|\operatørnavn{fft}(\vec x)\right|^2\right)

Kvadraten af det komplekse modul tages element for element: . Hvis der ikke er nogen regnefejl, vil den imaginære del være nul. Proportionalitetsfaktoren bestemmes ud fra kravet . $\left|\vec a\right|^2 = \left\{ \operatørnavn{Re}^2 a_i + \operatørnavn{Im}^2 a_i \right\}$ $\Psi(0)=1$

Se også

Noter