icosidodecahedron |
Toppunktsfigur , repræsenteret som 3.5.3.5 eller (3.5) 2 |
En toppunktskonfiguration [1] [2] [3] er en forkortelse for at repræsentere toppunktets figur af et polyeder eller flisebelægning som en sekvens af flader omkring et toppunkt. For et homogent polyeder er der kun én type toppunkt, og derfor definerer toppunktets konfiguration polyederet fuldstændigt. ( Chirale polyedre eksisterer som spejlpar med samme toppunktskonfiguration.)
Toppunktets konfiguration er specificeret som en talfølge, der repræsenterer antallet af sider af de flader, der omgiver toppunktet. Notationen " abc " betegner et toppunkt med tre flader omkring det, og disse flader har a , b og c sider (kanter).
For eksempel betegner "3.5.3.5" et toppunkt, der tilhører fire flader, skiftende trekanter og femkanter . Denne vertex-konfiguration definerer et vertex-transitivt icosidodecahedron . Notationen er cyklisk, så udgangspunktet er ligegyldigt. Så 3.5.3.5 er det samme som 5.3.5.3. Rækkefølgen er vigtig, så 3.3.5.5 er ikke det samme som 3.5.3.5. (I det første tilfælde efterfølges to tilstødende trekanter af to femkanter.) Gentagende elementer kan reduceres ved at overskrive, så vores eksempel kan skrives som (3.5) 2 .
Sammen med begrebet toppunktskonfiguration bruger forskellige kilder også termerne toppunktsbeskrivelse (vertexbeskrivelse) [4] [5] [6] , toppunktstype (vertextype) [7] [8] , vertexsymbol (vertexsymbol) [9 ] [ 10] , vertex-arrangement (vertex-layout) [11] , top-mønster (vertex-mønster) [7] , face-vektor (facevektor) [12] . Toppunktets konfiguration bruger også udtrykket Candy og Rollett symbol , da de brugte toppunktet konfigurationen til at beskrive arkimedeanske faste stoffer i deres bog fra 1952 Mathematical Models [ 13 ] [ 14] [15] [16] .
En toppunktskonfiguration kan repræsenteres som en polygonal toppunktsfigur , der viser kanterne omkring toppunktet. Denne toppunktsfigur har en 3-dimensionel struktur, da ansigterne ikke er i samme plan, men for toppunkt-ensartede polyedre er alle nabospidser i samme plan, så du kan bruge ortogonal projektion til visuelt at repræsentere toppunktets konfiguration .
{3,3} = 3 3 Defekt 180° |
{3,4} = 3 4 Defekt 120° |
{3,5} = 3 5 Defekt 60° |
{3,6} = 3 6 |
{4,3} Defekt 90° |
{4,4} = 4 4 |
{5,3} = 5 3 Defekt 36° |
{6,3} = 6 3 |
| Toppunktet skal have mindst 3 flader og toppunktet har en hjørnedefekt . En vinkeldefekt på 0° gør det muligt at dække flyet med en almindelig mosaik. Ifølge Descartes' sætning er antallet af hjørner 720°/ defekt (4 π radianer/ defekt ). | |||
Der bruges en anden type notation, nogle gange adskilt af et komma (,) nogle gange adskilt af et punktum (.). Et hævet skrift kan også bruges. For eksempel skrives 3.5.3.5 nogle gange som (3.5) 2 .
Notationen kan opfattes som en udvidet form af Schläfli-symbolet for regulære polyedre . Schläfli-notationen {p, q} betyder q p -goner omkring hvert toppunkt. Så {p, q} kan skrives som ppp... ( q gange) eller p q . For eksempel har icosahedron {3,5} = 3.3.3.3.3 eller 3 5 .
Denne notation gælder både for polygonale fliser og polyedre. En flad toppunktskonfiguration betyder en ensartet flisebelægning, ligesom en ikke-plan toppunktskonfiguration betyder et ensartet polyeder.
Betegnelsen er ikke unik for chirale arter. For eksempel har en snub-terning former, der er identiske, når de spejles. Begge former har toppunktskonfiguration 3.3.3.3.4.
Betegnelsen gælder også for ikke-konvekse regulære flader, stjernepolygoner . For eksempel har pentagrammet symbolet {5/2}, hvilket betyder, at polygonen har 5 sider, der går rundt om midten to gange.
For eksempel er der 4 regulære stjerne polyedre med regulære polygonale eller stjerne toppunkter. Det lille stjernedodekaeder har Schläfli-symbolet {5/2,5}, som udfolder sig i den eksplicitte toppunktskonfiguration 5/2.5/2.5/2.5/2.5/2, som kan repræsenteres som (5/2) 5 . Det store stjernedodekaeder med symbolet {5/2,3} har en trekantet toppunktsfigur og konfiguration (5/2.5/2.5/2) eller (5/2) 3 . Det store dodekaeder med symbolet {5,5/2} har en pentagram toppunktsfigur med toppunktskonfiguration (5.5.5.5.5)/2 eller (5 5 )/2. Det store ikosaeder med symbolet {3,5/2} har også en pentagram toppunktsfigur med toppunktskonfiguration (3.3.3.3.3)/2 eller (3 5 )/2.
| {5/2,5} = (5/2) 5 | {5/2,3} = (5/2) 3 | 3 4 .5/ | 3 4 .5/ | (3 4 .5/2)/2 |
|---|---|---|---|---|
| {5,5/2} = (5 5 )/2 | {3,5/2} = (3 5 )/2 | V.3 4.5/2 [ | V3 4.5/3 [ | V(3 4 .5/2)/2 |
Semi-regulære polytoper har en topvinkelkonfiguration med en positiv hjørnedefekt .
Bemærk : En toppunktsfigur kan repræsentere en regulær eller semi-regulær flisebelægning i planet, hvis dens defekt er nul. En toppunktsfigur kan repræsentere en flisebelægning på et hyperbolsk plan, hvis dens defekt er negativ.
For ensartede polyedre kan hjørnedefekten bruges til at beregne antallet af hjørner. Descartes' sætning siger, at summen af alle vinkeldefekter på en topologisk sfære skal være lig med 4 π radianer eller 720°.
Da alle hjørnerne i et ensartet polyeder er identiske, giver dette forhold os mulighed for at beregne antallet af hjørner, som er lig med kvotienten 4 π / defekt eller 720 ° / defekt .
Eksempel: Trunkeret terning 3.8.8 har en hjørnedefekt på 30°. Så polyederet har 720/30 = 24 hjørner.
Især følger det, at { a , b } har 4 / (2 - b (1 - 2/ a )) hjørner.
Enhver numerisk konfiguration af et toppunkt definerer potentielt entydigt et semiregulært polyeder. Det er dog ikke alle konfigurationer, der er mulige.
Topologiske krav begrænser eksistensen af et polyeder. Især betyder pqr , at en p - gon er omgivet skiftevis af q -goner og r - goner, så enten er p lige eller q er lig med r . På samme måde er q lige, eller p er lig med r , r er lige, eller p er lig med q . Så de potentielle tripler er 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4. n (for enhver n >2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. Faktisk eksisterer alle disse konfigurationer med tre flader, der mødes på et toppunkt.
På samme måde, når fire flader mødes i samme toppunkt, pqrs , hvis et tal er ulige, skal resten være ens.
Tallet i parentes er antallet af toppunkter beregnet ud fra hjørnedefekten.
Treere
firere
Femere
Seksere
Dobbelt til ensartede polyedre, catalanske faste stoffer , herunder bipyramider og trapezoedre , er lodret regelmæssige ( ansigtstransitive ), og kan derfor identificeres med en lignende notation, nogle gange kaldet en ansigtskonfiguration [2] . Cundy og Rollett præfikser disse dobbelte notationer med symbolet V. Som kontrast bruger bogen Flisebelægninger og mønstre [17] firkantede parenteser til isoedriske fliser.
Denne notation repræsenterer det fortløbende antal ansigter nær hvert vertex omkring en flade [18] . For eksempel repræsenterer V3.4.3.4 eller V(3.4) 2 et rombisk dodekaeder , der er ansigtstransitivt – ethvert ansigt er en rombe , og skiftende hjørner af romben omgiver 3 eller 4 flader.