Sammenhængende stråle

Kohærente skiver er en klasse af skiver , der er tæt forbundet med de geometriske egenskaber af bærerrummet. Definitionen af en sammenhængende bunke bruger en bunke af ringe , som gemmer denne geometriske information.

Kohærente skiver kan ses som en generalisering af vektorbundter . I modsætning til vektorbundter danner de en Abelsk kategori og er derfor lukket under operationer som at tage kerner , cokernels og billeder. Kvasi -kohærente skiver er en generalisering af kohærente skiver, der inkluderer vektorbundter af uendelig rang.

Kohomologien af kohærente skiver er en kraftfuld teknik, der især bruges til at studere tværsnit af kohærente skiver.

Definitioner

En kvasi-kohærent bunke på et ringmærket rum ( X , O X ) er en bunke af O X -moduler F , som er lokalt repræsenteret, det vil sige, at hvert punkt X har et åbent naboskab U , for hvilket der er en nøjagtig rækkefølge

{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\ til {\mathcal {F}}|_{U}\to 0

for nogle sæt I og J (evt. uendelige).

Et sammenhængende hylster på et ringmærket rum ( X , O X ) er et quasi-kohærent hylster F , der opfylder følgende to betingelser:

ark F af endelig type over O X , dvs. ethvert punkt X har et åbent naboskab U sådan, at der eksisterer en surjektiv morfisme On
X| U → F | U for nogle naturlige n ;
for enhver åben mængde U ⊂ X , enhver naturlig n og enhver morfisme O X -moduler φ: On
X| U → F | U , kerne φ af endelig type.

Morfismer mellem (kvasi)kohærente skiver er de samme som morfismer af O X -moduler.

Egenskaber

På et vilkårligt ringmærket rum danner kvasi-kohærente skiver ikke en abeliaansk kategori. Imidlertid danner kvasi-kohærente skiver over ethvert skema en Abelsk kategori, og de er yderst nyttige i denne sammenhæng. [en]

Sammenhængende skiver på et vilkårligt ringmærket rum danner en Abelsk kategori, en komplet underkategori af kategorien O X -moduler.

Et undermodul af en kohærent remskive er sammenhængende, hvis den er af finit type. Et kohærent skær er altid et endeligt præsenteret O X -modul i den forstand, at ethvert punkt X har et åbent naboskab U , således at begrænsningen F | U af skjoldet F på U er isomorf i forhold til kokernen af morfismen O X n | U → O X m | U for naturlig n og m . Hvis O X er kohærent, så er ethvert endeligt præsenteret O X -modul omvendt kohærent.

En ringskive O X kaldes sammenhængende, hvis den er sammenhængende som et modul over sig selv. Især Okas kohærenssætning siger, at en bunke af holomorfe funktioner på et komplekst analytisk rum X er kohærent. Tilsvarende, på et lokalt Noethersk skema X , er strukturskive O X kohærent. [2]

Lokal opførsel af kohærente stråler

En vigtig egenskab ved kohærente stråler er, at egenskaberne af en kohærent stråle i et punkt styrer dens adfærd i nærheden af det punkt. For eksempel angiver Nakayamas lemma (i geometriske termer), at hvis F er et sammenhængende skær på et skema X , så er dens fiber, tensor-multipliceret med restfeltet F p ⊗ O X , p k ( p ) ved p (vektoren mellemrum over restfeltet k ( p )) er nul, hvis og kun hvis F er nul i et åbent kvarter til p . En relateret kendsgerning er, at dimensionen af lagene i en kohærent stråle er øvre semikontinuerlig . [3] Således har et sammenhængende skær en konstant rang på en åben delmængde, mens rangen på en lukket delmængde kan springe.

På samme måde: et kohærent skær F på et skema X er et vektorbundt, hvis og kun hvis dets fiber F p er et frit modul over en lokal ring O X , p for ethvert punkt p i X . [fire]

På det generelle skema er det umuligt at afgøre, om et sammenhængende hylster er et vektorbundt ud fra dets fibre tensor-multipliceret med restfelter. I det givne lokalt Noetherske skema er et kohærent sarg imidlertid et vektorbundt, hvis og kun hvis dets rang er lokalt konstant. [5]

Cohomology of coherent sheaves

Kohomologiteorien om kohærente skiver er et af de vigtigste tekniske værktøjer inden for algebraisk geometri. Selvom det først dukkede op i 1950'erne, er mange tidligere resultater inden for algebraisk geometri formuleret mere tydeligt i det sprog, hvori kohomologi anvendes på kohærente skiver. Groft sagt kan kohomologi af kohærente skiver betragtes som et værktøj til at konstruere funktioner med givne egenskaber; sektioner af linjebundter eller mere generelle skiver kan betragtes som generaliserede funktioner. I kompleks analytisk geometri spiller kohomologien af kohærente skiver også en vigtig rolle.

Forsvindende sætninger i det affine tilfælde

Kompleks analyse blev revolutioneret af Cartans sætninger A og B , bevist i 1953. Disse resultater siger, at hvis E er en kohærent analytisk bunke på et Stein-rum X , så genereres E af dets globale sektioner, og H i ( X , E ) = 0 for alle i > 0. (Det komplekse rum X er et Stein-rum, hvis og kun hvis det er isomorft til et lukket analytisk underrum C n for nogle n .) Disse resultater generaliserer et stort korpus af tidligere arbejde om konstruktion af komplekse analytiske funktioner med givne singulariteter eller andre egenskaber.

I 1955 introducerede Serre kohærente skiver i algebraisk geometri (oprindeligt over et algebraisk lukket felt , men denne begrænsning blev fjernet af Grothendieck ). Analoger af Cartans sætninger er sande i stor udstrækning: hvis E er en kvasi-kohærent bunke på et affint skema X , så genereres E af dets globale sektioner, og H i ( X , E ) = 0 for i > 0. [6 ] Dette skyldes det faktum, at kategorien af quasi-kohærente skiver på et affint skema X er ækvivalent med kategorien af O ( X ) -moduler : ækvivalensen fører skiven E til O ( X )-modulet H 0 ( X , E ).

Cech kohomologi og projektiv rumkohomologi

Som en konsekvens af forsvinden af kohomologien af affine skemaer, for et separerbart skema X , et affint åbent dæksel { U i } af et skema X , og et kvasi-kohærent skær E på X , kohomologigrupperne H *( X , E ) er isomorfe for Cech-kohomologigrupperne med hensyn til det åbne låg { U i }. [6] Med andre ord, for at beregne kohomologien af X med koefficienter i E , er det tilstrækkeligt at kende sektionerne af E ved alle endelige skæringspunkter af åbne affine delmængder U i .

Ved at bruge Cech-kohomologien kan man beregne kohomologien af et projektivt rum med koefficienter i ethvert linjebundt. For et felt k , et naturligt tal n og et heltal j , er kohomologierne af det projektive rum P n over k med koefficienter i linjebundtet O ( j ) givet som følger: [7]

H^{i}(\mathbf {P} ^{n},O(j))\cong {\begin{cases}\bigoplus _{a_{0}\geq 0,\ldots ,a_{n }\geq 0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n} }&{\text{if }}i=0\\0&{\text{if }}i\neq 0{\text{ og }}i\neq n\\\bigoplus _{a_{0}<0, \ldots ,a_{n}<0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^ {a_{n}}&{\text{if }}i=n.\end{cases}}

Især viser denne beregning, at kohomologien af et projektivt rum over k med koefficienter i ethvert linjebundt er endeligt-dimensionelt som vektorrum over k .

Forsvinden af disse kohomologigrupper i dimensioner over n er et særligt tilfælde af Grothendiecks forsvindingssætning : for enhver bunke af Abelske grupper E på et noethersk topologisk rum X med dimension n < ∞ har vi H i ( X , E ) = 0 for alle i > n . [8] Dette resultat er især nyttigt, når X er et Noethersk skema (for eksempel en algebraisk variant over et felt), og E er en sammenhængende bunke.

Finit-dimensional cohomology

For et korrekt skema X over et felt k og et kohærent felt E på X er kohomologigrupperne H i ( X , E ) endelig-dimensionelle som vektorrum over k . [9] I det særlige tilfælde, hvor X er projektiv over k , bevises dette ved reduktion til tilfældet med liniebundter på et projektivt rum betragtet ovenfor. Det generelle tilfælde af et korrekt skema over et felt bevises ved reduktion til det projektive tilfælde ved hjælp af Zhou-lemmaet .

Kohomologiens endelige dimensionalitet gælder også for sammenhængende analytiske skiver på et kompakt komplekst rum. Cartan og Serre beviste finite-dimensionality i denne analytiske situation ved hjælp af Schwarz 's sætning om kompakte operatører i Fréchet rummet .

Kohomologiens endelige dimensionalitet giver os mulighed for at opnå mange interessante invarianter af projektive varianter. For eksempel, hvis X er en ikke-singular projektiv kurve over et algebraisk foldet felt k , så er slægten af X defineret som dimensionen af vektorrummet H 1 ( X , O X ). Hvis k er feltet for komplekse tal, falder det sammen med slægten af rummet af komplekse punkter X ( C ) i den klassiske (euklidiske) topologi. (I dette tilfælde er X ( C ) = Xan en lukket orienteret overflade .)

Serra dualitet

Serre-dualiteten er en analog af Poincaré-dualiteten for kohomologien af sammenhængende skiver. For et jævnt egenskema X med dimension n over et felt k eksisterer der et naturligt sporkort Hn ( X , K X ) → k . Serre dualitet for et vektorbundt E på X angiver, at parringen

H^{i}(X,E)\gange H^{ni}(X,K_{X}\nogle gange E^{*})\til H^{n}(X,K_{X}) \til k

er en perfekt parring for ethvert heltal i . [10] Især vektorrummene H i ( X , E ) og H n − i ( X , K X ⊗ E *) har samme dimension. (Serre beviste også Serre-dualitet for holomorfe vektorbundter på en kompakt kompleks manifold.) Grothendiecks dualitetsteori inkluderer generaliseringer til en vilkårlig sammenhængende bunke og en vilkårlig egenmorfi af skemaer, men påstandene bliver mindre elementære.

For en ikke-singular projektiv kurve X over et algebraisk lukket felt k angiver Serre dualitet f.eks., at dimensionen af rummet af 1-former på X H 0 ( X ,Ω 1 ) = H 0 ( X , K X ) falder sammen med slægten af X (af dimension H 1 ( X , O )).

GAGA-sætninger

GAGA-sætningerne relaterer komplekse algebraiske varianter til de tilsvarende analytiske rum. For et skema X af endelig type over C eksisterer der en funktion fra kohærente algebraiske skiver på X til kohærente analytiske skiver på det tilsvarende analytiske rum X an . GAGA-fundamentalsætningen siger, at hvis X er korrekt over C , så er denne funktion en kategoriækvivalens. For ethvert kohærent algebraisk skær E på et korrekt skema X over C er den naturlige kortlægning desuden

H^{i}(X,E)\to H^{i}(X^{\text{an)),E)

er en isomorfi for alle i . [11] (Den første gruppe er defineret ved hjælp af Zariski-topologien, og den anden gruppe er defineret ved hjælp af den klassiske (euklidiske) topologi.) Især ækvivalensen mellem analytiske og algebraiske kohærente skiver på et projektivt rum indebærer Chou-sætningen, at enhver lukket analytisk underrum af CP n er algebraisk.

Forsvindende teoremer

Serre-forsvindingssætningen siger, at for ethvert rigeligt linjebundt L på et korrekt skema X over en Noethersk ring og enhver sammenhængende remskive F på X , eksisterer der et heltal m 0 , således at for alle m ≥ m 0 , er remskivet F ⊗ L ⊗ m er genereret af globale sektioner og har ingen højere kohomologi. [12]

Selvom Serres forsvindingssætning er nyttig, kan det være et problem at ikke kende tallet m 0 . Kodaira-forsvindingssætningen er et vigtigt eksplicit resultat. Nemlig, hvis X er en jævn projektiv variant over et felt med karakteristik 0, L er et rigeligt linjebundt på X , og K X er det kanoniske bundt , så

H^{j}(X,K_{X}\nogle gange L)=0

for alle j > 0. Bemærk, at Serres sætning garanterer den samme forsvinden for høje potenser af L . Kodaira-forsvindingssætningen og dens generaliseringer spiller en grundlæggende rolle i klassificeringen af algebraiske varianter og i programmet for minimale modeller . Kodaira-forsvindingssætningen gælder ikke for felter med positive karakteristika. [13]

Noter

↑ Stacks Project, Tag 01LA Arkiveret 3. september 2017 på Wayback Machine .
↑ Grothendieck, EGA I, Corollaire 1.5.2.
↑ Hartshorne (1981), Eksempel III.12.7.2.
↑ Grothendieck, EGA I, Ch. 0, 5.2.7.
↑ Eisenbud (1995), øvelse 20.13.
↑ 1 2 Stacks Project, Tag 01X8 , < http://stacks.math.columbia.edu/tag/01X8 > Arkiveret 3. september 2017 på Wayback Machine .
↑ Hartshorne (1981), Sætning III.5.1.
↑ Hartshorne (1977), Sætning III.2.7.
↑ Stacks Project, Tag 02O3 , < http://stacks.math.columbia.edu/tag/02O3 > Arkiveret 23. december 2017 på Wayback Machine .
↑ Hartshorne (1981), Sætning III.7.6.
↑ Grothendieck & Raynaud, SGA 1, Exposé XII.
↑ Hartshorne (1981), Sætning II.5.17 og Proposition III.5.3.
↑ Michel Raynaud . Modeksempel på forsvindende teorem en karakteristik p > 0 . I CP Ramanujam - en hyldest , Tata Inst. fond. Res. Studier i matematik. 8, Berlin, New York: Springer-Verlag, (1978), pp. 273-278.

Litteratur

R. Hartshorne. Algebraisk geometri / overs. fra engelsk. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
David Eisenbud. Kommutativ algebra med udsigt til algebraisk geometri. - Springer-Verlag, 1995. - ISBN 978-0-387-94268-1 .
Grothendieck, Alexandre; Dieudonne, Jean . "Elements de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publikationer Mathématiques de l'IHES. 4 , 1960.