Lemma af Nakayama

Nakayamas lemma er et vigtigt teknisk lemma i kommutativ algebra og algebraisk geometri , en konsekvens af Cramers regel . Opkaldt efter Tadashi Nakayama .

Formuleringer

Det har mange tilsvarende formuleringer. Her er en af dem:

Lad R være en kommutativ ring med identitet 1, I et ideal i R , og M et endeligt genereret modul over R. Hvis IM = M , så eksisterer der en ∈ I sådan, at for hver m ∈ M am = m .

Bevis for lemmaet. Lad være generatorer af modulet M . Da M = IM , kan hver af dem repræsenteres som $m_{1},m_{2},...,m_{n}$

m_{i}=a_{{i1}}m_{1}+a_{{i2}}m_{2}+\dots +a_{{in}}m_{n}

, hvor er elementer af idealet I . Det vil sige (hvor er Kronecker-symbolet ).

a_{{ij}}

\sum \limits _{{j}}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})m_{j}=0

\delta _{{ij}}

Det følger af Cramers formel for dette system, at for enhver j

\operatørnavn {det}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})\cdot m_{j}=0

Da vi repræsenterer på formen 1 − a , a fra I , er lemmaet bevist. $\operatørnavn {det}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})$

Følgende konsekvens af det beviste udsagn er også kendt som Nakayamas Lemma:

Konsekvens 1: Hvis idealet I under lemmaets betingelser har den egenskab, at for hvert af dets elementer a , er elementet 1 − a invertibelt (f.eks. er dette tilfældet, hvis I er indeholdt i Jacobson-radikalen ) , skal det være M = 0 .

Bevis . Der er et element a af idealet I , således at aM = M , derfor (1 − a)M = 0, multipliceres fra venstre med elementet inverse til 1 − a , får vi, at M = 0.

Anvendelse til moduler over lokale ringe

Lad R være en lokal ring , være et maksimalt ideal i R , M være et endeligt genereret R - modul og være en faktoriseringshomomorfi. Nakayamas lemma giver en bekvem måde at gå fra et modul M over en lokal ring R til et kvotientmodul , som er et endeligt dimensionelt vektorrum over et felt . Følgende udtalelse anses også for at være en form for Nakayamas lemma, som anvendt i denne sag: $\mathfrak{m}$ $\phi :M\to M/{\mathfrak {m}}M$ $M/{\mathfrak {m}}M$ $R/{\mathfrak {m}}$

Elementer genererer et modul M , hvis og kun hvis deres billeder genererer et kvotientmodul . $m_{1},m_{2},...,m_{n}\i M$ $\phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})$ $M/{\mathfrak {m}}M$

Bevis. Lad S være et undermodul i M genereret af elementer , Q = M/S være et faktormodul og være en faktoriseringshomomorfi. Da de genererer et kvotientmodul , betyder det, at for hver der findes , sådan at . Så . Da det er surjektivt, betyder det, at . Ved Nakayamas lemma (mere præcist ifølge konsekvens 1) Q=0 , det vil sige S=M . $m_{1},m_{2},...,m_{n}$ $\pi :M\til Q$ $\phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})$ $M/{\mathfrak {m}}M$ $m\in M$ $s\i S$ $ms\in {\mathfrak {m}}M$ $\pi (m)=\pi (ms)\in {\mathfrak {m}}Q$ $\pi$ $Q={\mathfrak {m}}Q$

Der er en anden version af Nakayamas lemma for moduler over lokale ringe:

Lad være en homomorfi af endeligt genererede R -moduler. Det inducerer en kvotientmodulhomomorfi . Disse homomorfismer er enten surjektive eller ikke-surjektive på samme tid. $\phi :\,M\til N$ $\phi _{0}:\,M/{\mathfrak {m}}M\to N/{\mathfrak {m}}N$

Baseret på denne form for Nakayamas lemma, er følgende vigtige sætning udledt:

Hvert ( endeligt genereret ) projektivt modul over en lokal ring er gratis.

Litteratur

M. Atiyah, I. MacDonald. Introduktion til kommutativ algebra. — M .: Mir , 1972. — 160 s.

Se også

Tadashi Nakayama