Ringmærket rum

Et ringmærket rum er et topologisk rum , hvor hvert åbent sæt er forbundet med en kommutativ ring af "funktioner" på dette sæt. Især ringmærkede mellemrum bruges i definitionen af skemaer .

Definition

Et ringmærket rum er et topologisk rum sammen med en bunke af kommutative ringe på det. Denne bunke kaldes den rumstrukturelle bunke . $(X,{\mathcal O}_{X})$ $x$ ${\mathcal O}_{X}$ $x$

Et lokalt ringmærket rum er et ringmærket rum, således at fiberen i aksen på et hvilket som helst tidspunkt er en lokal ring . ${\mathcal O}_{X}$

Eksempler

Ethvert topologisk rum kan udstyres med strukturen af et lokalt ringmærket rum, hvis vi betragter en bunke af kontinuerlige funktioner med realværdi på det. Fiberen i denne bunke ved punktet x - ringen af kim med kontinuerlige funktioner med reel værdi ved x - er en lokal ring, hvis eneste maksimale ideal er kim af funktioner, der forsvinder ved x . På samme måde er en glat manifold med en blyant af glatte funktioner et lokalt ringmærket rum.

Hvis X er en algebraisk variant med Zariski-topologien (for eksempel spektret af en eller anden ring), introduceres strukturen af et lokalt ringmærket rum på den som følger: er sættet af rationelle funktioner defineret på hele U . Et sådant ringmærket rum kaldes et affint skema , generelle skemaer er defineret som resultatet af at "lime" flere affine skemaer. ${\mathcal O}_{X}(U)$

Morfismer af ringmærkede rum

For at angive en morfisme fra til skal du rette følgende oplysninger: $(X,{\mathcal O}_{X})$ $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$

Kontinuerlig visning . $f:X\til Y$
For hver åben delmængde , en ringhomomorfi . $U\in Y$ $\varphi _{U}:{\mathcal {O}}_{Y}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(U))$

Ringhomomorfismer skal være i overensstemmelse med skjoldets struktur, det vil sige, at de skal pendle med restriktionskortlægninger. Nemlig, hvis det er åbne delmængder af , skal følgende diagram være kommutativt: $V_{1}\subset V_{2}$ $Y$

Morfismer af lokalt ringmærkede rum skal opfylde endnu et krav. Homomorfismer for hvert punkt inducerer en homomorfi fra et lag ved et punkt til et lag ved et punkt . Det kræves, at alle disse homomorfier er lokale , dvs. de tager det maksimale ideal for forbilledet til en delmængde af det maksimale ideal for billedet. $\varphi$ $x\i X$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ $f(x)$ ${\mathcal O}_{X}$ $x$

Tangent space

Strukturen af lokalt ringmærkede rum giver os mulighed for at introducere en meningsfuld definition af et tangentrum på dets punkt. Overvej et punkt i det ringmærkede rum . Overvej en lokal ring (skærfiber ved x ) med maksimal ideal . Så er et felt, er et vektorrum over dette felt. Tangentrummet i et punkt er defineret som dualen af dette rum. $x\i X$ $(X,{\mathcal O}_{X})$ $R_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ $R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $x$

Ideen er denne: tangentrummet består af vektorer, langs hvilke man kan "differentiere" "funktionerne" på et givet punkt, det vil sige ringens elementer . Det er nok at finde en måde at differentiere funktioner, hvis værdi på et givet punkt er lig med nul, da resten adskiller sig fra dem med en konstant, det vil sige, det er nok at beskrive afledte funktioner fra . I dette tilfælde er differensen af produktet af to funktioner fra lig med nul (vi ønsker, at formlen for produktets afledte forbliver sand). Derfor skal vektoren tildele et tal til hvert element , og det er det, elementerne i det dobbelte rum gør . $R_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$

Det er let at kontrollere, at i tilfælde af glatte manifolder med en bunke af glatte funktioner falder denne definition sammen med den sædvanlige. På den anden side, i tilfælde af et topologisk rum med en blyant af kontinuerlige (reelle værdier) funktioner , da funktionen for en kontinuerlig funktion også er kontinuert. Derfor, i dette tilfælde, har tangentrummet på ethvert punkt dimension 0. ${\mathfrak {m}}_{x}={\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $f(x)$ ${\sqrt {|f(x)|}}$

Litteratur

Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). Elementer de geométrie algébrique: I. Le langage des schémas. Arkiveret 6. marts 2016 på Wayback Machine Publications Mathématiques de l'IHÉS 4. Afsnit 0.4.
Ringet rum - artikel fra Encyclopedia of Mathematics . A. L. Onishchik