Kvaternioner og rumrotation

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. oktober 2021; checks kræver 10 redigeringer .

Kvaternioner giver en praktisk matematisk notation for orienteringen af rummet og rotationen af objekter i dette rum. Sammenlignet med Euler-vinkler gør quaternioner det lettere at kombinere rotationer, samt undgår problemet med ikke at kunne rotere rundt om en akse uanset rotationen i andre akser (vist). Sammenlignet med rotationsmatricer er de mere beregningsmæssigt stabile og kan være mere effektive. Quaternions har fundet deres anvendelse inden for computergrafik , robotteknologi , navigation , molekylær dynamik .

Rotationsoperationer [1]

Repræsentation af revolutionens rum

Unit norm quaternions , også kaldet versors ifølge Hamilton , giver en algebraisk måde at repræsentere rotation i tre dimensioner. Korrespondancen mellem rotationer og kvaternioner kan først og fremmest realiseres gennem selve rotationsrummet, gruppen SO(3) .

Enhver rotation i tredimensionelt rum er en rotation gennem en bestemt vinkel omkring en bestemt akse. Hvis vinklen er nul, så er valget af akse irrelevant; rotationer gennem en vinkel på 0° er således et punkt i rotationsrummet ( identisk rotation). For en lille (men ikke-nul) vinkel er enhver mulig rotation gennem den vinkel en lille kugle, der omgiver den identiske rotation, hvor hvert punkt på den kugle repræsenterer en akse, der peger i en bestemt retning (sammenlignelig med himmelkuglen ). Jo større drejningsvinklen er, jo længere er drejningen fra den identiske drejning; sådanne rotationer kan opfattes som koncentriske kugler med stigende radius. Nær identitetsrotationen ser det abstrakte rum af rotationer således ud som almindeligt tredimensionelt rum (som også kan repræsenteres som et centralt punkt omgivet af koncentriske sfærer). Når vinklen stiger til 360°, ophører rotationerne omkring de forskellige akser med at divergere og begynder at blive ens hinanden, og bliver lig med den identiske rotation, når vinklen når 360°.

Vi kan se lignende adfærd på overfladen af en kugle. Hvis vi placerer os ved nordpolen og begynder at tegne lige linjer, der udstråler fra den i forskellige retninger (det vil sige længdelinjer ), vil de først divergere, men derefter konvergere igen ved sydpolen. De koncentriske cirkler, der dannes omkring nordpolen ( breddegrad ) vil skrumpe til et punkt ved sydpolen – når kuglens radius er lig med afstanden mellem polerne. Hvis vi tænker på forskellige retninger fra polen (dvs. forskellige længdegrader) som forskellige rotationsakser og forskellige afstande fra polen (dvs. breddegrader) som forskellige rotationsvinkler, så har vi plads til rotationer. Den resulterende kugle repræsenterer en rotation i tredimensionelt rum, selvom det er en todimensionel overflade, som ikke tillader modellering af en hypersfære . Imidlertid kan den todimensionelle overflade af en kugle repræsenteres som en del af en hypersfære (som en cirkel er en del af en kugle). Vi kan for eksempel være med til at repræsentere rotation omkring akser i x- og y -planerne . Det er vigtigt at bemærke, at rotationsvinklen til ækvator er 180° (ikke 90°); til sydpolen (fra nord) 360° (ikke 180°).

Nord- og sydpolen repræsenterer de samme rotationer. Dette gælder for alle to diametralt modsatte punkter: hvis et punkt er en rotation gennem en vinkel omkring aksen v , så er et punkt med rotation gennem en vinkel omkring aksen − v diametralt modsat . Rotationsrummet er således ikke en 3-sfære i sig selv , men en 3 - halv kugle ( en kugle på den med radius ) med identificerede diametralt modsatte punkter, som er diffeomorf til projektivt rum . Men til de fleste formål kan man tænke på rotationer som punkter på en kugle, selvom de har dobbelt redundans. $\alfa$ $\scriptstyle 360^{\circ }-\alpha$ $\pi$ $\mathbb{R} {\mathrm {P}}^{3}$

Definition af revolutionsrum

Koordinaterne for et punkt på overfladen af en kugle kan gives af to tal, såsom breddegrad og længdegrad. En sådan koordinat som længdegrad ved nord- og sydpolen begynder imidlertid at opføre sig uendeligt (viser degeneration ), selvom nord- og sydpolen ikke adskiller sig fundamentalt fra noget andet punkt på kuglens overflade. Dette viser, at intet koordinatsystem kan karakterisere en position i rummet med to koordinater. Dette kan undgås ved at placere kuglen i tredimensionelt rum, karakterisere den med kartesiske koordinater ( w , x , y ), placere nordpolen på ( w , x , y ) = (1, 0, 0), syd pol på ( w , x , y ) = (−1, 0, 0), og ækvator ved w = 0, x ² + y ² = 1. Punkter på kuglen opfylder relationen w ² + x ² + y ² = 1. Som et resultat opnås to frihedsgrader , selvom der er tre koordinater. Punktet ( w , x , y ) repræsenterer en drejning omkring ( x , y , 0) -aksen med en vinkel . $\alpha =2\arccos w=2\arcsin {\sqrt {x^{2}+y^{2))}$

På samme måde kan rummet af tredimensionelle rotationer karakteriseres ved tre vinkler ( Euler-vinkler ), men enhver sådan repræsentation begynder at degenerere på nogle punkter af hypersfæren. Dette problem kan undgås ved at bruge de euklidiske koordinater w , x , y , z , hvor w ² + x ² + y ² + z ² = 1. Punktet ( w , x , y , z ) repræsenterer rotation omkring akserne ( x , y , z ) ved vinklen $\alpha =2\arccos w=2\arcsin {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$

Kort om quaternions

Et komplekst tal kan defineres ved at introducere det abstrakte symbol i , som opfylder de sædvanlige regler for algebra, samt reglen . Dette er nok til at reproducere alle reglerne for aritmetik med komplekse tal. For eksempel: $i^{2}=-1$

(a+b{\mathbf {i}})(c+d{\mathbf {i}})=ac+ad{\mathbf {i}}+b{\mathbf {i}}c+b{\mathbf {i}}d{\mathbf {i}}=ac+ad{\mathbf {i}}+bc{\mathbf {i}}+bd{\mathbf {i}}^{2}=(ac-bd )+(bc+ad){\mathbf {i}}

På samme måde kan kvaternioner defineres ved at indføre abstrakte symboler i , j , k , hvis multiplikation er givet af reglen

\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i} \mathbf {j} \mathbf {k} =- en

{\mathbf {i}}{\mathbf {j}}=-{\mathbf {j}}{\mathbf {i}}={\mathbf {k}}

{\mathbf {j}}{\mathbf {k}}=-{\mathbf {k}}{\mathbf {j}}={\mathbf {i}}

{\mathbf {k}}{\mathbf {i}}=-{\mathbf {i}}{\mathbf {k}}={\mathbf {j}}

og multiplikation med reelle tal defineres på den sædvanlige måde, og multiplikation antages at være associativ , men ikke kommutativ (et eksempel på ikke-kommutativ multiplikation er også matrixmultiplikation ). Alle reglerne for quaternion-regning følger heraf f.eks

(a+b{\mathbf {i}})(e+h{\mathbf {k}})=ae+be{\mathbf {i}}-bh{\mathbf {j}}+ah{\mathbf { k}}

Den imaginære del af quaternion opfører sig på samme måde som vektoren , og den reelle del a opfører sig på samme måde som skalaren i . Når man bruger kvaternioner, efter Hamilton, kan man beskrive dem som summen af en skalar og en vektor og bruge vektoren og skalarprodukterne og (ideen om hvilken blev foreslået af kvaternioner). Desuden er de relateret til den sædvanlige quaternion multiplikation med følgende formel: $b{\mathbf {i}}+c{\mathbf {j}}+d{\mathbf {k}}$ $(b,c,d)\i \mathbb{R} ^{3}$ $\mathbb {R}$ $\ gange$ $\cdot$

{\mathbf {v}}\ gange {\mathbf {w}}={\mathbf {vw}}+{\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {w}}

Krydsproduktet er ikke-kommutativt, mens skalar-scalar- og skalar-vektor-produkterne er kommutative. Disse regler følger:

(s+{\mathbf {v}})(t+{\mathbf {w}})=(st-{\mathbf {v}}\cdot {\mathbf {w}})+(s{\mathbf {w} }+t{\mathbf {v}}+{\mathbf {v}}\ gange {\mathbf {w}})

Den omvendte (venstre og højre) for en ikke-nul quaternion er $s+{\mathbf {v}}$

(s+{\mathbf {v}})^{{-1}}={\frac {s-{\mathbf {v}}}{s^{2}+|{\mathbf {v}}|^{ 2}}}

som kan verificeres ved direkte beregning.

Definition af revolutionsrum i form af quaternioner

Lad os sige ( w , x , y , z ) er rotationskoordinaterne ifølge den foregående beskrivelse. Så kan quaternion q defineres som

q=w+x{\mathbf {i}}+y{\mathbf {j}}+z{\mathbf {k}}=w+(x,y,z)=\cos(\alpha /2)+{ \mathbf {u}}\sin(\alpha /2)

hvor er enhedsvektoren. Altså arbejdet $\mathbf {u}$

q{\mathbf {v}}q^{{-1}}

roterer vektoren med en vinkel om aksen givet af vektoren . Rotationen er med uret , hvis vi betragter rotationen i vektorens retning ; det vil sige, at vektorens retning er den samme som retningen for translation af den højre propel , når den drejes gennem en positiv vinkel . $\mathbf{v}$ $\alfa$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {u}$ $\alfa$

Du kan tage en sammensætning af rotationer med kvaternioner ved at gange dem (rotationsrækkefølgen afhænger af multiplikationsrækkefølgen). Altså rotationer på quaternioner og ligeværdige $s$ $q$

pq{\mathbf {v}}(pq)^{{-1}}=pq{\mathbf {v}}q^{{-1}}p^{{-1}}

hvilket er det samme som at rotere videre og derefter . $q$ $s$

At vende en quaternion er det samme som at rotere i den modsatte retning, således . Kvadraten af en quaternion er en rotation gennem en dobbelt vinkel omkring den samme akse. I generel forstand er dette en rotation omkring en akse med en vinkel, der er gange større end den oprindelige. Kan være et hvilket som helst reelt tal i stedet for $q^{{-1))(q{\mathbf {v}}q^{{-1}})q={\mathbf {v}}$ $q^{n}$ $q$ $n$ $n$ , hvilket gør det muligt for brugen af quaternioner at interpolere jævnt mellem to positioner i rummet.

Enhed quaternion rotation

Lad u være enhedsvektoren (rotationsaksen) og quaternion. Vores mål er at vise det $q=\cos {\frac {\alpha }{2))+{\mathbf {u))\sin {\frac {\alpha }{2))$

{\mathbf {v}}'=q{\mathbf {v}}q^{{-1}}=\venstre(\cos {\frac {\alpha }{2}}+{\mathbf {u}} \sin {\frac {\alpha }{2}}\right)\,{\mathbf {v}}\,\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}-{\mathbf {u} }\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)

roterer vektoren v med en vinkel α omkring u - aksen . Ved at åbne beslagene får vi:

{\begin{array}{lll}{\mathbf {v}}'&=&{\mathbf {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+({\mathbf { uv))-{\mathbf {vu)))\sin {\frac {\alpha }{2))\cos {\frac {\alpha }{2))-{\mathbf {uvu))\sin ^{ 2}{\frac {\alpha }{2}}\\&=&{\mathbf {v}}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+2({\mathbf {u }}\ gange {\mathbf {v}})\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-({\mathbf {v}}({\ mathbf {u}}\cdot {\mathbf {u}})-2{\mathbf {u}}({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}}))\sin ^{2}{ \frac {\alpha }{2}}\\&=&{\mathbf {v}}(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2)))+({\mathbf {u))\ gange {\mathbf {v)))(2\sin {\frac {\alpha }{2))\cos {\frac {\ alpha }{2)))+{\mathbf {u}}({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})(2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2 }})\\&=&{\mathbf {v}}\cos \alpha +({\mathbf {u}}\ gange {\mathbf {v}})\sin \alpha +{\mathbf {u}} ({\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})(1-\cos \alpha )\\&=&({\mathbf {v}}-{\mathbf {u}}({\ mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v))))\cos \alpha +({\mathbf {u}}\ gange {\mathbf {v}})\sin \alpha +{\mathbf {u} }( {\mathbf {u}}\cdot {\mathbf {v}})\\&=&{\mathbf {v}}_({\bot }}\cos \alpha +({\mathbf {u}}\ gange {\mathbf {v}}_({\bot }})\sin \alpha +{\mathbf {v}}_({\|}}\end{array}}

hvor og er komponenterne i vektoren v , der er henholdsvis vinkelrette og parallelle med u -aksen . ${\mathbf {v}}_{{\bot }}$ ${\mathbf {v}}_{{\|}}$

Det resulterende resultat er formlen for rotation gennem vinklen α omkring u - aksen .

At multiplicere en vektor med −1 , dvs. at tage den modsatte quaternion, ændrer ikke rotationen. Især quaternionerne 1 og −1 definerer begge den identiske rotation. Mere abstrakt hører vektorerne til SU(2) Lie-gruppen , som er diffeomorfe til 3-sfæren. Denne gruppe dækker rotationsrummet SO(3) to gange.

Rotation af firedimensionelt euklidisk rum

En firedimensionel rotation beskrives ved to enhedsnormkvaternioner, op til at gange begge samtidigt med -1.

Variationer og generaliseringer

Lignende formler gør det muligt at anvende biquaternioner til at beskrive Lorentz-transformationerne - "rotationer" af det 4-dimensionelle Minkowski-rum .

Se også

kardanophæng

Noter

↑ Rotations, Quaternions, and Double Groups / Altmann, Simon L. - Mineola: Dover Publications, 1986. - 317 s.

Litteratur

V. I. Arnold. Geometrien af komplekse tal, quaternioner og spins . — M .: MTSNMO , 2002. — 40 s. — ISBN 5-94057-025-9 .
I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov Hyperkomplekse tal (utilgængeligt link) . — M.: Nauka , 1973. — 144 s.