Kvadratur (matematik)
Kvadratur ( lat. quadratura , kvadratur) er et matematisk udtryk, der oprindeligt betegnede at finde arealet af en figur eller overflade . I fremtiden ændrede betydningen af udtrykket sig gradvist [1] . Kvadraturproblemer tjente som en af de vigtigste kilder til matematisk analyse i slutningen af det 17. århundrede .
I oldtiden blev kvadratur forstået som konstruktionen ved hjælp af et kompas og en lineal af en firkant , lige i størrelse med en given figur (det vil sige at have det samme areal). Eksempler: firkant af en cirkel eller hippokratisk lunula . Eudoxus' udmattelsesmetode blev derefter vedtaget som den vigtigste analysemetode .
I middelalderens Europa blev kvadratur forstået som beregningen af arealet af et givet område - for eksempel arealet af buen af en cycloid . Til dette blev den udelelige metode oftest brugt .
Med fremkomsten af integralregning blev beregningen af arealet reduceret til integration, og udtrykket " kvadratur " begyndte at blive forstået som et synonym for udtrykket " integral " ( bestemt eller ubestemt ). " Det er blevet sædvanligt at kalde beregningen af integralet for en kvadratur " [2] .
I øjeblikket bruges udtrykket sjældent, hovedsageligt i følgende sæt sætninger:
- " kvadraturformler " - formler til at estimere værdien af et bestemt integral;
- " føre til kvadraturer " ( " udtrykke i kvadraturer ", " løse i kvadraturer ") - udtrykke løsningen af en differentialligning som et integral af kombinationer af elementære funktioner , dvs. i form , hvor er en elementær funktion eller deres endelige kombination.
Historisk disposition
Matematikerne i det antikke Grækenland , i overensstemmelse med den pythagoræiske doktrin, forstod definitionen af arealet af en figur som konstruktionen ved hjælp af et kompas og en lineal af en firkant, der er lige stor som en given figur. Det er her begrebet "squaring" kommer fra.
For at kvadraturere et rektangel med siderne a og b , skal du konstruere et kvadrat med en side ( geometrisk middelværdi af a og b ). For at gøre dette kan du bruge følgende kendsgerning: Hvis du bygger en cirkel på summen af disse to segmenter som på en diameter, så er højden BH (se figur), genoprettet fra punktet for deres forbindelse til skæringspunktet med cirklen , vil give deres geometriske middelværdi [3] . En lignende geometrisk konstruktion løser problemet med at kvadrere et parallelogram og en trekant . Generelt er problemet med at kvadrere en polygon løst i Euklids Principia ( forslag 45 i bog I og påstand 14 i bog II).
Problemerne med at kvadrere krumlinede figurer viste sig at være meget vanskeligere. Kvadring af en cirkel , som det endelig blev bevist i det 19. århundrede (se bevis ), ved hjælp af et kompas og en ligekant er umuligt. Men for nogle figurer (for eksempel for hippokratiske lunes ) lykkedes det alligevel at udføre kvadraturen. Den højeste præstation af gammel analyse var kvadraturen af overfladen af kuglen og segmentet af parablen udført af Archimedes :
- overfladearealet af en kugle er lig med fire gange arealet af den store cirkel af denne kugle;
- arealet af et parabelsegment afskåret fra det med en lige linje er 4/3 af arealet af en trekant indskrevet i dette segment (se figur).
Til beviset brugte Archimedes " udmattelsesmetoden ", der går tilbage til Eudoxus . Det skal bemærkes, at resultatet af Archimedes for overfladen af en kugle allerede går ud over den Pythagoras definition, da det ikke reducerer til den eksplicitte konstruktion af en firkant.
I det 17. århundrede dukkede " metoden af udelelige " op, mindre streng, men enklere og mere kraftfuld end metoden til udmattelse. Med hans hjælp fandt Galileo og Roberval området med cykloidbuen , og flammanden Gregoire de Saint-Vincent udforskede området under hyperbelen (" Opus Geometricum ", 1647), desuden Sarasa ( fr. Alphonse Antonio de Sarasa ) ), studerende og kommentator af de Saint-Vincent , har allerede bemærket forbindelsen mellem dette område og logaritmer [4] . John Vallis udførte algebraiseringen af metoden: i sin bog Arithmetic of the Infinite (1656) beskrev han konstruktionen af talrækker, som nu kaldes integral summer , og fandt disse summer. Wallis' teknik blev videreudviklet i Isaac Barrows og James Gregorys skrifter ; kvadraturer blev opnået for et sæt algebraiske kurver , såvel som spiraler . Huygens med held kvadratureret en række omdrejningsflader ; især udgav han i 1651 et værk om kvadrering af keglesnit kaldet "Diskurser om kvadreringen af hyperbelen, ellipsen og cirklen."
Yderligere udvikling af emnet var forbundet med fremkomsten af integralregning , som gav en universel metode til beregning af areal. I denne henseende begyndte udtrykket " squaring " gradvist at falde ud af brug, og i tilfælde, hvor det blev brugt, blev det synonymt med udtrykket " integral ". Det er interessant, at Isaac Newton i stedet for den leibnizanske notation af integralet, som vi kender, forsøgte at introducere sit eget symbol - en firkant, som var placeret foran den integrerbare funktion eller indeholdt den i sig selv [5] .
Se også
Litteratur
- Bashmakova I. G. Forelæsninger om matematikkens historie i det antikke Grækenland // Historisk og matematisk forskning . - M .: Fizmatgiz , 1958. - Nr. 11 . - S. 225-440 .
- Bourbaki N. Matematikkens arkitektur. Essays om matematikkens historie. - M . : Udenlandsk litteratur, 1963.
- Matematikkens historie, redigeret af A. P. Yushkevich i tre bind, M .: Nauka.
- Bind 1 Fra oldtiden til begyndelsen af moderne tid. (1970)
- Bind 2 Matematik i det 17. århundrede. (1970)
- Bind 3 Matematik i det 18. århundrede. (1972)
Links
- Bendukidze A. D. Archimedes og parablens kvadratur. Kvant, 1971, nr. 7, s. 7-10.
Noter
- ↑ Kvadratur // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1979. - T. 2. - S. 793. - 1104 s.
- ↑ Fikhtengolts G. M. . Forløb af differential- og integralregning. - M . : Nauka, 1960. - T. II, § 264.
- ↑ Bashmakova I. G., 1958 , s. 270.
- ↑ Bourbaki, 1963 , s. 175.
- ↑ Bourbaki, 1963 , s. 199.
 Ordbøger og encyklopædier |
|---|