I matematik er en kategori af grupper en kategori , hvis objektklasse består af grupper, og hvis morfismer er homomorfismer af grupper .
Overvej to glemsomme funktorer fra Grp :
M: Grp → Man
U: Grp → Indstil
Her har M to konjugater :
Her I: Mon → Grp er en funktor, der sender en monoid til en submonoid af inverterbare elementer, og K: Mon → Grp er en funktor, der sender en monoid til sin Grothendieck-gruppe .
Det glemsomme U: Grp → Sæt har en højre adjunktsammensætning KF: Sæt → Mon → Grp , hvor F er en fri funktor.
Monomorfier i Grp er nøjagtigt injektiv homomorfismer, epimorfismer er nøjagtigt surjektive homomorfier, og isomorfier er bijektive homomorfier.
Grp- kategorien er komplet og komplet . Et produkt i Grp er et direkte produkt af grupper, mens et biprodukt er et frit produkt af grupper. Null-objektet i Grp er en triviel gruppe.
Kategorien af Abelske grupper , Ab , er en komplet underkategori af Grp . Ab er en Abelsk kategori , men Grp er ikke engang en additiv kategori , da der ikke er nogen naturlig måde at definere summen af to homomorfismer på.
Forestillingen om en nøjagtig rækkefølge giver også mening i Grp , og nogle resultater fra Abelsk kategoriteori, såsom 9-lemmaet og 5-lemmaet , forbliver gyldige i Grp . På den anden side holder slangelemmaet op med at være sandt.