Lemma af slangen

Slangelemmaet  er et værktøj, der bruges i matematik , især homologisk algebra , til at konstruere lange nøjagtige sekvenser . Slangelemmaet er sandt i enhver Abelsk kategori og spiller en nøglerolle i homologisk algebra og dens anvendelser, såsom algebraisk topologi . Homomorfier konstrueret med dens hjælp kaldes normalt forbindende homomorfismer .

Ordlyd

I en abelsk kategori (såsom kategorien af ​​abelske grupper eller kategorien af ​​vektorrum over et fast felt ) skal du overveje et kommutativt diagram :

hvis strenge er nøjagtige sekvenser , og 0 er null-objektet .

Derefter er der en nøjagtig rækkefølge, der forbinder kernerne og kokkernerne af kortlægningerne a , b og c :

hvor d  er en homomorfi, kendt som en bindende homomorfi .

Desuden, hvis morfismen f er en monomorfi , så er morfismen  også en monomorfi, og hvis g' er en epimorfi , så er u  en epimorfi.

Navn Forklaring

For at forklare oprindelsen af ​​lemmaets navn, forestil dig diagrammet ovenfor som følger:

og bemærk, at den nøjagtige rækkefølge, hvis eksistens hævdes i lemmaet, har form af en kravlende slange.

Bygningskortlægninger

Mappings mellem kerner og mappings mellem cokernels er naturligt induceret af givne (horisontale) mappings på grund af kommutativiteten af ​​diagrammet. Nøjagtigheden af ​​de to inducerede sekvenser følger naturligvis af nøjagtigheden af ​​linjerne i det originale diagram. En vigtig del af påstanden om lemmaet er eksistensen af ​​en forbindende homomorfi d inkluderet i den nøjagtige rækkefølge.

I tilfælde af abelske grupper eller moduler over en eller anden ring , kan kortlægningen d konstrueres som følger:

Vi vælger et element x fra ker c og betragter det som et element af C ; da g er surjektiv, er der et y fra B , således at g ( y ) = x . Da diagrammet er kommutativt, har vi g' ( b ( y )) = c ( g ( y )) = c ( x ) = 0 (da x ligger i kernen af ​​c ), og derfor ligger b ( y ) i kernen af ​​g' . Da den nederste række er nøjagtig, finder vi element z i A' således, at f '( z ) = b ( y ). Elementet z er unikt på grund af injektiviteten af ​​f '. Vi definerer d ( x ) = z + im ( a ). Det er tilbage at kontrollere, at d er veldefineret (dvs. d ( x ) afhænger kun af x , ikke af valget af y ), at det er en homomorfi, og at den resulterende sekvens er nøjagtig.

Hvis dette gøres, vil teoremet blive bevist for abelske grupper eller for moduler over en ring. Generelt kan beviset omformuleres i form af egenskaber ved pile. En anden måde at bevise det på er at bruge Mitchells indlejringssætning .

Litteratur