Inversion (geometri)

Inversion (fra latin inversio "vending") med hensyn til en cirkel er en transformation af det euklidiske plan , der oversætter generaliserede cirkler (cirkler eller rette linjer) til generaliserede cirkler, hvor en af cirklerne er punktvis oversat til sig selv.

Definition

Lad en cirkel være givet i det euklidiske plan med et centrum (kaldet inversionspolen eller inversionscenteret , dette punkt er udstanset) og en radius . Inversionen af et punkt i forhold til er et punkt, der ligger på strålen , således at $\Gamma$ $O$ $R$ $P$ $\Gamma$ $P'$ $OP$

|OP'|\cdot |OP|=R^{2}.

Inversion konverterer det indre område af cirklen til det ydre og omvendt.

Ofte tilføjes et "punkt ved uendelighed" til planet og betragtes det omvendt , og - omvendt . I dette tilfælde er inversionen den bijektive transformation af dette udvidede "cirkulære plan" . $\infty$ $O$ $O$ $\infty$

Inversionen af et euklidisk rum i forhold til en kugle og inversionen i euklidiske rum af højere dimensioner defineres på samme måde.

Egenskaber

Inversion omkring en cirkel centreret ved O har følgende grundlæggende egenskaber: $\Gamma$

En inversion er en involution : hvis punktet P går til punktet Q , så går punktet Q til punktet P.
Linjen, der går gennem O , går ind i sig selv.
En ret linje, der ikke går gennem O , går ind i en cirkel, der går gennem O med punktet O punkteret ; og omvendt går cirklen, der går gennem O , ind i en lige linje, der ikke går gennem O .
En cirkel, der ikke går gennem O , går ind i en cirkel, der ikke går gennem O (og billedet af dens centrum er ikke midten af billedet).
Inversionen er en konform kortlægning af den anden slags (dvs. den bevarer vinklerne mellem kurver og vender orienteringen om ).

Inversion med hensyn til Apollonius-cirklen , defineret af , bytter punkterne og . $k={\tfrac {PA}{PB}}$ $EN$ $B$
En cirkel eller en linje vinkelret på , går ind i sig selv. $\Gamma$

Bemærk

I teorien om cirkler og inversion siges to cirkler, der skærer hinanden i rette vinkler , at være ortogonale ( vinkelrette ). Cirkler kan betragtes som ortogonale , hvis de danner en ret vinkel med hinanden. Normalt er vinklen mellem kurver vinklen mellem deres tangenter tegnet ved deres skæringspunkt.
I teorien om cirkler og inversion er en linje vinkelret på en cirkel, hvis den passerer gennem midten af sidstnævnte. $\Gamma$

Bygning

Du kan få billedet P' af et punkt P i inversion om en given cirkel med centrum O som følger [1] :

Hvis afstanden fra P til O er større end cirklens radius, tegnes en tangent til cirklen fra P , så vil vinkelret på linjen OP fra kontaktpunktet skære denne linje i det ønskede punkt P' .
Hvis afstanden fra P til O er mindre end radius af cirklen, tegnes gennem P en vinkelret på OP , og gennem punktet for dens skæringspunkt med cirklen - en tangent til den, som vil skære OP i det ønskede punkt P' .
Hvis afstanden fra P til O er lig med radius af cirklen, vil billedet af P falde sammen med sig selv.

Koordinatrepræsentationer

Kartesiske koordinater

Inversionen om enhedscirklen centreret ved origo er givet ved

(x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{ 2}}}\right)

Hvis et punkt i flyet er givet af en kompleks koordinat , så kan dette udtryk repræsenteres som $z=x+iy$

{\displaystyle z\mapsto ({\bar {z)))^{-1))

hvor er det komplekse konjugerede tal for . Denne funktion af en kompleks variabel er antiholomorf , hvilket især indebærer, at inversionen er konform. ${\barz}$ $z$

I det generelle tilfælde er inversionen i forhold til en cirkel med et centrum i et punkt og en radius givet af relationen $O=(x_{0},y_{0})$ $r$

(x,y)\mapsto \left(x_{0}+{\frac {r^{2}(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}+ (y-y_{0})^{2}}},y_{0}+{\frac {r^{2}(y-y_{0})}{(x-x_{0})^{2 }+(y-y_{0})^{2}}}\right)

Polære koordinater

Inversionen omkring en cirkel med radius centreret ved origo er givet ved $r$

(\phi ,\rho )\mapsto (\phi ,r^{2}/\rho )

Ansøgninger

Anvendelsen af inversion løser
- Apollonius' opgave ,
- Ptolemæus' identitet .

Lipkin-Posselier-mekanismen er baseret på egenskaberne ved inversion .

Ved hjælp af inversion bevises Mohr-Mascheroni-sætningen , som siger, at alle konstruktioner, der kan udføres med et kompas og en retlinje, kan udføres med et enkelt kompas (en ret linje anses for at være bygget, hvis to af dens punkter er kendt) [ 2] [3]

Der er et bevis for egenskaberne for Apollonius-cirklen , baseret på inversionsegenskaben. [fire]

Ved at bruge inversion bevises Steiners porisme : beviset bruger det faktum, at der for alle ikke-skærende cirkler er en inversion, der gør dem til koncentriske cirkler.

Ved hjælp af inversion er det bevist, at to arkimedeanske tvillingecirkler i arbelos er lige store . [2]

Ved hjælp af inversion bevises egenskaberne af cirkler i porismen af Pappus af Alexandria . [2]

Ved hjælp af inversion bevises sommerfuglens sætning . [2]

Variationer og generaliseringer

Inversion i forhold til et keglesnit

Det er muligt at definere en inversion med hensyn til et vilkårligt ikke-degenereret keglesnit , hvor den eneste forskel er, at mængden vil være den (variable) afstand fra midten af den tilsvarende kurve (i tilfælde af en ellipse og hyperbel ) til skæringspunkterne for den kurve med en linje . $R$ $O$ $OP$

I tilfælde af inversion i forhold til en hyperbel, afhængigt af den sektor, hvor punktet mellem asymptoterne er placeret , er tilfældet muligt, når linjen ikke skærer hyperbelen. Derefter, til beregningen, tages skæringspunktet for denne linje med den konjugerede hyperbel (medmindre punktet ligger på asymptoten), og den tilsvarende værdi tages med et minustegn, det vil sige, at strålen er rettet i retningen modsat strålen . $P$ $OP$ $R$ $P$ $R^2$ $OP'$ $OP$

En inversion omkring en parabel er simpelthen en symmetrisk refleksion om den langs en lige linje parallel med parablens akse.

En alternativ definition er inversion i forhold til keglesnittet som midtpunktet af korden skåret af det polære punkt i forhold til . Men i det tilfælde, hvor den tilsvarende polar ikke skærer , for fuldstændigheden af definitionen er det nødvendigt at anvende denne deldefinition i den modsatte retning (det vil sige , dette er et sådant punkt, der er midten af akkorden, der er skåret ud af polar on ), hvilket ikke altid er praktisk. ${\mathcal {K}}$ $P$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ $P'$ $P$ $P'$ ${\mathcal {K}}$

Se også

Invers geometri
Kurve inversion

Noter

↑ Pogorelov A.V. Geometri . - M . : Nauka , 1983. - S. 41 -42. — 288 s.
↑ 1 2 3 4 Zhizhilkin, 2009 .
↑ Courant, 2000 .
↑ § 124 "Geometries" af A. Yu. Davidov .