Isogonal makker

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. juni 2018; checks kræver 13 redigeringer .

En isogonal konjugation er en geometrisk transformation opnået ved at reflektere linjerne, der forbinder startpunkterne med hjørnerne i en given trekant , i forhold til halveringslinjen af trekantens vinkler.

Definition

Punkter og kaldes isogonalt konjugeret (forældede navne er isogonale, omvendte [1] ) i en trekant hvis , , . Rigtigheden af denne definition kan bevises gennem Cevas sætning i sinusform; der er også et rent geometrisk bevis for rigtigheden af denne definition. En isogonal konjugation er en transformation, der forbinder et punkt med dets isogonale konjugat. På hele planet, bortset fra linjerne, der indeholder trekantens sider, er den isogonale konjugation en en-til-en-afbildning . $P$ $P^*$ $\trekant ABC$ $\angle ABP = \angle CBP^*$ $\angle BAP = \angle CAP^*$ $\angle BCP = \angle ACP^*$

Egenskaber

En isogonal konjugation efterlader kun centrene af det indskrevne og cirkler på plads .
Et punkt isogonalt konjugeret til et punkt på den omskrevne cirkel er på uendeligt . Retningen givet af dette punkt er vinkelret på Simson-linjen i det oprindelige punkt.
Hvis punkterne , , er symmetriske med et punkt med hensyn til trekantens sider, så er midten af trekantens omskrevne cirkel isogonalt konjugeret med punktet . $P_a$ $P_b$ $P_c$ $P$ $P_aP_bP_c$ $P$
Hvis en ellipse er indskrevet i en trekant , så er dens foci isogonalt konjugeret .

Projektionerne af to isogonalt konjugerede punkter på siderne ligger på den samme cirkel (det omvendte er også sandt) [2] . Centrum af denne cirkel er midtpunktet af segmentet mellem konjugerede punkter. Et specialtilfælde er en cirkel med ni punkter .
Det sidste betyder, at de subdermale cirkler af to isogonalt konjugerede punkter falder sammen. Især er undercirklen af ortocentret og midten af den omskrevne cirkel Euler-cirklen . Poder- eller pedalcirkel er den omskrevne cirkel af den subdermale trekant .
To punkter i en trekant er isogonalt konjugeret, hvis og kun hvis produkterne af deres tre afstande til trekantens tre sider er lige store [2] .

Par af isogonalt konjugerede linjer

Billedet af en linje i isogonal konjugation er en kegle om en trekant. Især linjen ved uendelighed og den omskrevne cirkel , Euler-linjen og Enzhabek-hyperbelen , Brocard-aksen og Kiepert- hyperbelen , centrets linje for de indskrevne og omskrevne cirkler og Feuerbach-hyperbelen er isogonalt konjugerede .
Hvis en kegle er isogonalt konjugeret til en linje , så vil de trilineære polarer af alle punkter på passere gennem et punkt, der er isogonalt konjugeret til den trilineære pol . $\alfa$ $l$ $\alfa$ $l$
Nogle velkendte terninger , såsom Thompson -kubikken , Darboux -kubikken , Neuberg -kubikken, er isogonalt selvadjoint i den forstand, at hvis alle deres punkter i trekanten er isogonalt konjugeret, opnås terninger igen.

Par af isogonalt konjugerede punkter

Centrum af den omskrevne cirkel og ortocentret (se figur).
Skæringspunkt for medianer og Lemoine punkt (skæringspunkt for simedianer).
Gergonne-punktet og midten af den negative homoteti af de indskrevne og omskrevne cirkler.
Nagels punkt og midten af den positive homoteti af incircle og circumcircle ( Verrier point ).
To Brocard-point
Apollonius- punktet og Torricelli-punktet .
Centrum af den indskrevne cirkel ( incenter ) er isogonalt konjugeret med sig selv.

Koordinatnotation

I barycentriske koordinater skrives den isogonale konjugation som:

(x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {a^{2}}{x}}:{\frac {b^{2}}{y}}:{\frac { c^{2}}{z}}\right)

hvor , , er længderne af trekantens sider. I trilineære koordinater har dens notation formen: $-en$ $b$ $c$

(x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}}\right )

derfor er de praktiske, når du arbejder med isogonale makkere. I andre koordinater er den isogonale konjugation mere besværlig.

Variationer og generaliseringer

På samme måde kan man definere en isogonal konjugation med hensyn til en polygon. Foci af ellipser indskrevet i en polygon vil også være isogonalt konjugeret. Det isogonale konjugerede punkt vil dog ikke blive defineret for alle punkter: for eksempel i en firkant er lokuset for punkter, for hvilke den isogonale konjugation er defineret, en kurve af tredje orden; for en femkant vil der kun være ét par isogonalt konjugerede punkter (foci af den eneste ellipse indskrevet i den), og i polygoner med et stort antal hjørner vil der i det generelle tilfælde ikke være nogen isogonalt konjugerede punkter.

Du kan også definere en isogonal konjugation i et tetraeder , i trilineære koordinater vil det blive skrevet på samme måde som en flad isogonal konjugation [3] .

Nært beslægtet med isogonal konjugation er antigonal konjugation , nævnt i artiklen Poncelets sætning .

Konsekvenser

Pascals sætning kan udledes af isogonal konjugation .

Noter

↑ D. Efremov. Ny trekantgeometri. Odessa, 1902
↑ 1 2 Zetel S.I. Ny trekantgeometri. En guide til lærere. 2. udgave .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 97, s. 80.
↑ Isogonal konjugation i et tetraeder og dets ansigter (utilgængeligt link)