Central linje

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. januar 2022; checks kræver 3 redigeringer .

Centrale linjer er nogle specielle linjer forbundet med en trekant og ligger i trekantens plan. Den særlige egenskab, der adskiller linjer som centrale linjer , manifesteres gennem ligningen af ​​en linje i trilineære koordinater . Denne særlige egenskab er også relateret til konceptet om midten af ​​en trekant . Begrebet den centrale linje blev introduceret af Clark Kimberling i et papir offentliggjort i 1994 [1] [2] .

Definition

Lad ABC  være en trekant, og lad ( x  : y  : z ) være de trilineære koordinater for et vilkårligt punkt i trekantens ABC -plan . En ret linje i trekanten ABCs plan vil være den centrale linje i trekanten ABC , hvis dens ligning i trilineære koordinater er

f ( a , b , c ) x + g ( a , b , c ) y + h ( a , b , c ) z = 0

hvor punktet med trilineære koordinater ( f ( a , b , c ) : g ( a , b , c ) : h ( a , b , c )) er midten af ​​plan trekant ABC. [3] [4] [2]

Centrale linjer som trilineære polarer

Geometrisk kan forholdet mellem den centrale linje og dens tilknyttede centrum udtrykkes ved hjælp af udtrykket trilineær polær og isogonal konjugation . Lad X = ( u ( a , b , c ) : v ( a , b , c ) : w ( a , b , c )) være midten af ​​trekanten. Så er ligningen for den trilineære polar i det trekantede centrum X [5] [2]

x / u ( a , b , c ) + y / v ( a , b , c ) y + z / w ( a , b , c ) = 0.

På samme måde er Y = (1/ u ( a , b , c ): 1/ v ( a , b , c ): 1/ w ( a , b , c )) den isogonale konjugation af X 's centrum .

Således den centrale linje beskrevet af ligningen

f ( a , b , c ) x + g ( a , b , c ) y + h ( a , b , c ) z = 0,

er en trilineær polær under isogonal konjugation af midten ( f ( a , b , c ): g ( a , b , c ): h ( a , b , c )).

Konstruktion af centrale linjer

Lad X  være et hvilket som helst centrum af trekanten ABC .

• Lad os tegne linjerne AX , BX og CX og konstruere deres refleksioner i forhold til trekantens vinkelhalveringslinjer ved hhv. toppunkterne A , B , C .
• De reflekterede linjer vil skære hinanden, og punktet for deres skæringspunkt vil være den isogonale konjugation Y af punktet X .
• Lad cevianerne AY , BY , CY skære modsatte sider af trekanten ABC i punkterne A' , B' , C' . Så er trekanten A'B'C' den cevianske trekant af punktet Y .
• Trekant ABC og cevian trekant A'B'C' er i perspektiv, og lad linje DEF  være perspektivaksen for de to trekanter. Linje DEF er den trilineære polar af punktet Y . Linje DEF  er den centrale linje, der er knyttet til midten X .

Nogle nominelle centrale linjer

Lad X n  være det n . trekantcenter i Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centres . Den centrale linje forbundet med X n er betegnet som Ln. Nogle nominelle midterlinjer er angivet nedenfor.

Den centrale linje, der er knyttet til X 1 , det vil sige med midten af ​​den indskrevne cirkel: anti-orth-aksen

Den centrale linje, der er forbundet med indersiden X 1 = (1 : 1 : 1) (også kaldet I ) er givet af ligningen

x + y + z = 0.

Denne linje er anti-ortaksen for trekanten ABC . [6]

• Centret isogonalt konjugeret til midten af ​​trekant ABC er selve incenteret . Således er antiorth-aksen, som er den centrale linje forbundet med incenteret , perspektivaksen for trekanten ABC og den cevianske trekant i midten af ​​trekanten ABC .
• Antiortaksen for trekant ABC er perspektivaksen for trekant ABC og trekanten af ​​centre af tre cirkelcirkler ( trekant med tre ydre halveringslinjer ) I 1 I 2 I 3 af trekant ABC . [7]
• En trekant, hvis sider udvendigt rører ved de tre centre af cirklerne i trekanten ABC , er den ydre tangentielle trekant ( ekstangenstrekanten ) i trekanten ABC . Trekant ABC og dens ydre tangentielle trekant er i perspektiv, og deres perspektivakse er antiortaksen for trekanten ABC .

Den centrale linje forbundet med X 2 , dvs. tyngdepunktet : Lemoine - aksen

De trilineære koordinater for tyngdepunktet X 2 (også betegnet som G ) i trekanten ABC er (1 / a  : 1 / b  : 1 / c ). Således er den centrale linje forbundet med tyngdepunktet (tyngdepunktet) i trilineære koordinater givet af ligningen

x / a + y / b + z / c = 0.

Denne linje er Lemoine-aksen i trekanten ABC .

• Punktet isogonalt konjugeret til tyngdepunktet X 2 er Lemoine-punktet X 6 (skæringspunktet for tre symmetriske trekanter) (også betegnet som K ), som har trilineære koordinater ( a  : b  : c ). Lemoine-aksen i trekanten ABC er således den trilineære polar for skæringspunktet for symmedianerne i trekanten ABC .
• Den tangentielle trekant i trekanten ABC er trekanten T A T B T C , dannet af tangenterne til cirklen af ​​trekanten ABC ved dens toppunkter. Trekant ABC og dens tangentielle trekant er i perspektiv, og deres perspektivakse er Lemoine-aksen i trekanten ABC .

Den centrale linje, der er knyttet til X 3 , det vil sige med midten af ​​den omskrevne cirkel: Orthic akse

De trilineære koordinater for midten af ​​den omskrevne cirkel X 3 (også betegnet som O ) i trekanten ABC er (cos A  : cos B  : cos C ). Således er den centrale linje forbundet med midten af ​​den omskrevne cirkel i trilineære koordinater givet af ligningen

x cos A + y cos B + z cos C = 0.

Denne linje er højdeaksen for trekant ABC . [otte]

• Den isogonale konjugation af midten af ​​den omskrevne cirkel X 6 er orthocentret X 4 (også betegnet som H ), som har trilineære koordinater (sek A  : sek B  : sek C ). Således er højdeaksen for trekant ABC den trilineære polar af orthocenteret for trekant ABC . Højdeaksen for trekant ABC er perspektivaksen for trekant ABC og dens ortotrekant H A H B H C .

Den centrale linje forbundet med X 4 , det vil sige med ortocentret

De trilineære koordinater for orthocenteret X 4 ((også betegnet som H ) i trekanten ABC er (sek A  : sek B  : sek C ). Den centrale linje, der er forbundet med midten af ​​den omskrevne cirkel i trilineære koordinater, er således givet ved ligning

x sek A + y sek B + z sek C = 0.

• Den isogonale konjugation af en trekants orthocenter er midten af ​​trekantens omskrevne cirkel. Den centrale linje, der er forbundet med orthocentret, er således den trilineære polar af midten af ​​den omskrevne cirkel.

Den centrale linje, der er knyttet til X 5 , det vil sige med midten af ​​cirklen på ni punkter

De trilineære koordinater for midten af ​​cirklen af ​​ni punkter X 5 (også betegnet N ) i trekanten ABC er (cos ( B − C ) : cos ( C − A ): cos ( A − B )). [9] . Således er den centrale linje forbundet med midten af ​​cirklen af ​​ni punkter i trilineære koordinater givet af ligningen

x cos ( B − C ) + y cos ( C − A ) + z cos ( A − B ) = 0.

• Den isogonale konjugation af ni-punkts cirkelcentrum af trekanten ABC er Kosnite-punktet X 54 af trekanten ABC . [10] [11] . Således er den centrale linje forbundet med midten af ​​ni- punktscirklen den trilineære polar for Kosnite-punktet.
• Kosnite-punktet er konstrueret som følger. Lad O  være midten af ​​den omskrevne cirkel af trekanten ABC . Lad O A , O B , O C være centrene for  omskrevne cirkler af henholdsvis trekanter BOC , COA , AOB . _ _ _ _ Dens navn er forbundet med J. Rigby. [12]

Den centrale linje, der er knyttet til X 6 , det vil sige med skæringspunktet for symmedianerne: linjen ved uendelig

De trilineære koordinater for skæringspunktet mellem tre symmedianer ( Lemoine-punkt ) X 6 (også betegnet som K ) i trekanten ABC er ( a  : b  : c ). Således er den centrale linje forbundet med skæringspunktet for tre symmedianer i trilineære koordinater givet af ligningen

a x + b y + c z =0.

• Denne linje er en lige linje i uendelig i trekantplanet ABC .
• Det isogonale konjugat af symmedianen af ​​trekanten ABC er tyngdepunktet for trekanten ABC . Således er den centrale linje forbundet med skæringspunktet for symmedianerne den trilineære polar af tyngdepunktet. Det er perspektivaksen for trekanten ABC og dens ekstra trekant (det er også mediantrekanten = mediale trekant).

Nogle andre nominelle centrale linjer

Eulers linje

Euler-linjen i trekanten ABC er den linje, der går gennem tyngdepunktet, orthocenteret og midten af ​​den omskrevne cirkel af trekanten ABC . Dens ligning i trilineære koordinater er

x sin 2 A sin ( B − C ) + y sin 2 B sin ( C − A ) + z sin 2 C sin ( C − A ) = 0.

Dette er den centrale linje forbundet med punkt X 647 .

Brocards akse

Brocards akse for trekanten ABC er en ret linje, der går gennem midten af ​​trekantens omskrevne cirkel og skæringspunktet for de tre symmedianer i trekanten ABC . Dens ligning i trilineære koordinater er

x sin ( B  - C ) + y sin ( C  - A ) + z sin ( A  - B ) = 0.

Denne centrale linje er forbundet med center X 523 .

Se også

• Trilineære trekantede polarer
• Pol og polar

Noter

1. ↑ Kimberling, Clark. Centrale punkter og centrale linjer i en trekants plan  // Mathematics Magazine  : magazine  . - 1994. - Juni ( bind 67 , nr. 3 ). - S. 163-187 . - doi : 10.2307/2690608 .
2. ↑ 1 2 3 Kimberling, Clark. Trekantcentre og centrale trekanter  (neopr.) . - Winnipeg, Canada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - S. 285.
3. ↑ Weisstein, Eric W. Central Line . Fra MathWorld - En Wolfram-webressource . Hentet: 24. juni 2012. (ubestemt)
4. ↑ Kimberling, Clark Ordliste: Encyclopedia of Triangle Centres . Hentet: 24. juni 2012. (ubestemt)
5. ↑ Weisstein, Eric W. Trilinear Polar . Fra MathWorld - En Wolfram-webressource. . Hentet: 28. juni 2012. (ubestemt)
6. ↑ Weisstein, Eric W. Antiorthic Axis . Fra MathWorld - En Wolfram-webressource. . Hentet: 28. juni 2012. (ubestemt)
7. ↑ Weisstein, Eric W. Antiorthic Axis . Fra MathWorld - En Wolfram-webressource . Hentet: 26. juni 2012. (ubestemt)
8. ↑ Weisstein, Eric W. Orthic Axis . Fra MathWorld - En Wolfram-webressource. . (ubestemt)
9. ↑ Weisstein, Eric W. Nine-Point Center . Fra MathWorld - En Wolfram-webressource. . Hentet: 29. juni 2012. (ubestemt)
10. ↑ Weisstein, Eric W. Kosnita Point . Fra MathWorld - En Wolfram-webressource . Hentet: 29. juni 2012. (ubestemt)
11. ↑ Darij Grinberg. På Kosnita-punktet og refleksionstrekanten  // Forum  Geometricorum : journal. - 2003. - Bd. 3 . - S. 105-111 .
12. ↑ J. Rigby. Korte noter om nogle glemte geometriske sætninger  (neopr.)  // Mathematics & Informatics Quarterly. - 1997. - T. 7 . - S. 156-158 .