Echidnahedron

Echidnahedron
Symmetri gruppe	Icosahedral ( I h )
Type	stjerneformet icosahedron
Notation	Du Val: H Wenninger : W 42
Elementer (i form af et stjernepolyeder)	G = 20, P = 90 V = 60 ( χ = -10)
Elementer (formet som konstellation icosahedron)	G = 180, P = 270 V = 92 ( χ = 2)
Egenskaber (som et stjernepolyeder)	Vertex-transitiv , kant-transitiv
Enneagram Echidnahedron Kernen af ​​et stjernepolyeder konvekst skrog icosahedron Afkortet icosahedron

Echidnahedron ( eng.  echidnahedron ) er den sidste stellation af icosahedron [1] [2] , også kaldet den fulde eller endelige form af icosahedron, da den omfatter alle cellerne i stjernediagrammet icosahedron.

Echidnahedron blev først beskrevet af Max Brückner i 1900. Navnet echidnahedron blev givet af Andrew Hume, afhængigt af det faktum, at dets solide vinkler ved hjørnerne er små, og det får det til at ligne et stikkende pindsvin eller echidna [3] .

Præsentation

Baseret på analysen af ​​videnskabelig litteratur af Branko Grünbaum i artiklen "Kan hvert plan af et polyeder have mange sider?" ("Can Every Face of a Polyhedron Have Many Sides?") bemærker, at der er mindst tre forskellige metoder til at se polyeder. I tilfældet med echidnahedron er disse:

• forening af 180 trekantede flader;
• skæring af 20 selvskærende ansigter - enneagrammer ;
• skæringspunktet mellem 18-gon stjernepolygoner [4] .

I form af stjernebilledet icosahedron

Ligesom den enkle, synlige overflade af et polyeder består den ydre form af echidnaederet af 180 trekantede flader, der danner 270 kanter, som igen mødes i 92 hjørner [5] .

Alle hjørner af echidnahedron ligger på overfladen af ​​tre koncentriske kugler. Den indre gruppe på 20 hjørner danner hjørnerne af et regulært dodekaeder ; det næste lag på 12 hjørner danner hjørnerne af et regulært icosahedron ; og det ydre lag på 60 hjørner danner hjørnerne af et afkortet icosahedron [6] .

Konvekse skrog af hver sfære af hjørner

Indre	Medium	Ekstern	Alle tre
20 toppe	12 toppe	60 toppe	92 toppe
Dodekaeder	icosahedron	Afkortet icosahedron	Echidnahedron

I form af et stjerneformet polyeder

Den endelige stellation af icosahedron kan også ses som et selvskærende stjerneformet polyeder med 20 flader, svarende til icosahedrons 20 flader. Hvert ansigt er en uregelmæssig stjernepolygon (eller enneagram ) [7] . Hver tre flader danner et toppunkt, så echidnahedron har 20 × 9 ÷ 3 = 60 toppunkter (dette ydre lag af toppunkter danner spidserne af "tornene") og 20 × 9 ÷ 2 = 90 kanter (hver kant af et stjerneformet polyeder omfatter 2 af de 180 synlige kanter polyeder).

Som den endelige form for icosahedron

Denne stjerneform af polyederet er dannet ved at fastgøre alle de rum, der opnås ved at forlænge icosaederets flader med uendelige planer [8] . Der skabes således et nyt polyeder, afgrænset af disse planer som flader, og disse planers skæringspunkter er kanter. Bogen Fifty-nine Icosahedrons lister konstellationerne af icosahedron (inklusive echidnahedron) i henhold til et sæt regler fremsat af Geoffrey Miller [1] .

Egenskaber

Navne og klassifikation

• Du Vals [9] symbol for echidnahedron er H , fordi det inkluderer alle celler i konstellationsdiagrammet, inklusive det yderste niveau, "h"-niveauet [10] .
• I Magnus Wenningers bog Models of Polyhedra har echidnahedron indekset W 42 [2] .
• Hvis echidnaederets ansigter var regulære annagrammer, kunne det betragtes som et regulært polyeder med Schläfli-symbolet {9/4,3}. Det betyder, at 3 flader konvergerer ved hvert toppunkt, hvor hver flade er en uregelmæssig 9/4 stjerne polygon [7] .

Karakteristika

• Euler-karakteristikken for echidnahedron er 2 [5] . Denne karakteristik beregnes efter formlen , hvor Г, Р og В er antallet af henholdsvis flader, kanter og toppunkter.
• Hvis vi betragter echidnahedron som et stjerneformet polyeder, så er den endelige form af icosahedron et ædelt polyeder , da det er isohedralt (ansigtstransitivt) og isogonalt (vertextransitivt) .

Formler

• Hvis vi betragter echidnahedron som et geometrisk legeme med kantlængder a , Φ a , Φ 2 a og Φ 2 a √2 (hvor Φ er det gyldne snit ), så er overfladearealet af echidnahedron [6]

og volumen [6]

• Radierne af sfærerne, hvorpå echidnahedrons hjørner er placeret, er i forholdet [6]

• Echidnaeder -inertietensoren med konstant tæthed kan repræsenteres som en 3×3 diagonal matrix, hvis hoveddiagonale elementer er ens (hvor M  er den samlede masse) [6] .

Historisk disposition

Echidnahedron tilhører stjerneformet polyedre , som første gang blev beskrevet i videnskabelig litteratur i 1619 i afhandlingen Harmonices Mundi af Johannes Kepler . Kepler gav en matematisk begrundelse for egenskaberne af to typer regulære stjerneformede polyedre : det lille stjernedodekaeder og det store stjernedodekaeder [11] . Langt senere, i 1809, genopdagede  Louis Poinsot Kepler-polyedre og opdagede også yderligere to stjernepolyedre: det store dodekaeder og det store icosahedron , som nu kaldes Kepler-Poinsot-faststofferne [12] . Og i 1812 beviste Augustin Cauchy , at der kun er 4 typer af regulære stjerneformede polyedre [7] [11] .

Echidnahedron blev første gang beskrevet i 1900 af Max Brückner i det klassiske værk om polyedre med titlen "Polygons and Polyhedra", hvor der udover det blev beskrevet 9 flere stjerneformede former af icosahedron [13] . Siden da begyndte echidnahedron at dukke op i andre matematikeres værker, og det havde ikke en enkelt betegnelse. I 1924 offentliggjorde Albert Willer en liste over 20 stjernebilleder (22 inklusive kopier), inklusive echidnahedron [14] . Den mest systematiske og komplette undersøgelse af stjerneformede polyedre blev udført af Harold Coxeter , sammen med Patrick du Val , Flaser og John Petrie, i 1938 i bogen Fifty-nine Icosahedrons , hvor de anvendte begrænsningsreglerne fastsat af J. Miller. Coxeter beviste, at der kun er 59 stjernebilleder af icosahedron, hvoraf 32 har fuldstændig og 27 ufuldstændig icosahedral symmetri. Echidnahedron rangerer ottende i bogen [1] . I Magnus Wenningers værk Models of Polyhedra fra 1974 indgår echidnahedron som den 17. model af icosahedron med indeks W 42 [2] .

Det moderne navn for den sidste stellation af icosahedron blev givet af Andrew Hume i 1995 i sin Netlib-database som echidnahedron 15] ( echidnaen eller den spidse myresluger, et lille pattedyr dækket med trådet hår og pigge, krøller sig sammen til en bold for at forsvare sig selv).

Netlib-databasen dækker alle regulære polytoper , arkimedeiske faste stoffer , en række prismer og antiprismer , alle Johnson-polytoper

(konvekse polyeder, hvor hvert ansigt er en regulær polygon) og nogle ulige polyedre, inklusive echidnahedron (mit navn, faktisk den endelige form af icosahedron).

Originaltekst  (engelsk)[ Visskjule] "Det (Netlib) dækker alle de regulære polyedre, arkimediske faste stoffer, en række prismer og antiprismer og alle Johnson polyedre (alle konvekse polyedre med regelmæssige polygonale flader) og nogle ulige faste stoffer inklusive echidnahedron (mit navn; det er faktisk det sidste stjernebilledet af icosahedron)". - [3]

Noter

1. ↑ 1 2 3 Coxeter og andre, 1999 .
2. ↑ 1 2 3 Wenninger, 1971 .
3. ↑ 1 2 Database over polyedre .
4. ↑ Branko Grünbaum, 2008 , s. femten.
5. ↑ 12 Polyhedra.org . _
6. ↑ 1 2 3 4 5 Echidnahedron på MathWorld .
7. ↑ 1 2 3 Peter Cromwell, 1997 .
8. ↑ Wenninger Model #42 .
9. ↑ Du Val opfandt en symbolsk notation til at identificere sæt af kongruente celler baseret på den observation, at de er placeret i "skaller" omkring det oprindelige icosahedron.
10. ↑ Peter Cromwell, 1997 , s. 259.
11. ↑ 12 MathWorld . _
12. ↑ Louis Poinsot, 1810 .
13. ↑ Max Brückner, 1900 .
14. ↑ Albert Willer, 1924 .
15. ↑ Andrew Hume Model 141 .

Litteratur

• Harold Scott MacDonald Coxeter , P. Du Val , H.T. Flather , JF Petrie. Fifty-Nine Icosahedra = The Fifty-Nine Icosahedra. - 3. udg. — Tarquin, 1999. — S.  30–31 . — 72 sider. - ISBN 978-1-899618-32-3 .
• Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models = Polyhedron Models. - Cambridge University Press, 1971. - S. 65. - ISBN 0-521-09859-9 .
• Louis Poinsot. Noter om polygoner og polyedre = Memoire sur les polygones et polyèdres. - J. de l'École Polytechnique, 1810. - S. 16-48.
• Peter R. Cromwell. Polyeder = Polyeder. - Cambridge University Press, 1997. - S. 268. - ISBN 0-521-66405-5 .
• Max Bruckner. Polygoner og polyedre: teori og historie = Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. - Leipzig: BG Teubner Verlag, 1900. - ISBN 978-1-4181-6590-1 .
• A.H. Wheeler. Visse   former for icosahedron og en metode til at udlede og betegne højere polyedre // Proc . Internat. Matematik. Kongres. - Toronto, 1924. - Vol. 1. - S. 701-708.
• Gerald Jenkins, Magdalen Bear. The Final Stellation of the Icosahedron: En avanceret matematisk model til at skære ud og lime sammen. - Norfolk, England: Tarquin Publications, 1985. - ISBN 978-0-906212-48-6 .
• Branko Grunbaum. Kan hver side af et polyeder have mange sider?  (Engelsk)  = Kan hvert ansigt af et polyeder have mange sider?. - 2008. - S. 15.

Links

• Andrew Hume. Geometry.research › Polyhedra database  . Google.com. Hentet: 26. oktober 2014.
• Andrew Hume. Polyederdatabase Netlib, model  141 . Hentet: 7. november 2014.
• Erik Weisstein. Kepler- Poinsot Solid  . Mathworld.wolfram.com. Hentet: 26. oktober 2014.
• Erik Weisstein. Echidnahedron  (engelsk) . Mathworld.wolfram.com. Hentet: 26. oktober 2014.
• Erik Weisstein. Icosahedron  Stellationer . Mathworld.wolfram.com. Hentet: 7. november 2014.
• Ralph Jones. Instruktioner til at konstruere en model af echidnahedron  ( Microsoft Word(.doc)). Hentet 26. oktober 2014. Arkiveret fra originalen 4. oktober 2011.
• Guy Inchbald. Mod at stjernetegne icosahedron og facettere  dodecahedron . Hentet: 7. november 2014.
• Echidnahedron  (engelsk) . Honeylocust Media Systems (2006). Hentet 26. oktober 2014. Arkiveret fra originalen 7. oktober 2008.
• Den endelige stellation af icosahedron . Wenninger.narod.ru. Hentet: 3. november 2014. (Russisk)

Stjerneformer af icosahedron
Icosahedron (0) Lille triambisk icosahedron (1) Sammensætning af fem oktaedre (2) Forbindelse af fem tetraedre (12) Forbindelse af ti tetraedre (13) Udgravet dodekaeder (30) Store icosahedron (45) Echidnahedron (58)