Handlinger med nummerserier

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. maj 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Handlinger med talserier - nogle (aritmetiske eller permutations) manipulationer med en eller flere talserier . Disse handlinger kan bevare eller bryde konvergenstypen.

Bevarelse af betinget konvergens

Følgende operationer med numeriske serier skelnes (de giver mening, det vil sige, de gemmer kun summen af serien, hvis den eksisterer):

Lineær kombination af rækker

Hvis rækken og konvergerer, så konvergerer rækken (α, β er konstanter ) også, og $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }b_{k))$ $\sum _{k=1}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})=\alpha \sum _{k=1}^{\infty}a_{k }+\beta \sum _{k=1}^{\infty }b_{k))$

Gruppering af medlemmer af en serie

Vi grupperer seriens vilkår ved at kombinere flere (endeligt antal) medlemmer af serien uden at ændre rækkefølgen. Vi får nogle nye serier . Åbning af parenteser i en serie er imidlertid generelt uacceptabelt: hvis der efter åbning af parentes opnås en konvergerende serie, så er åbning af parentes mulig; hvis alle led i hver parentes har samme fortegn, så bryder åbning af parentes ikke konvergensen og ændrer ikke værdien af summen. $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }b_{k))$

Andre

Seriemultiplikation

Lad der være to rækker og . ${\displaystyle (A)=\sum _{i\geqslant 1}a_{i))$ ${\displaystyle (B)=\sum _{j\geqslant 1}b_{j))$

For at gange dem er det nødvendigt, som i tilfældet med endelige summer, at tage alle parvise produkter og lægge dem sammen. Men i mangel af absolut konvergens spiller rækkefølgen af addition af disse tal en væsentlig rolle, så der er flere forskellige regler for multiplikation af rækker, der adskiller sig i denne rækkefølge, såvel som i en bestemt gruppering af termer. Så for eksempel, ifølge forskellige regler, multipliceres potens (multi-potens) serier, Dirichlet serier , Fourier serier og andre typer serier. Resultatet af at gange rækken (A) og (B) er rækken (C): , hvor er summen af en gruppe af led . ${\displaystyle a_{i}b_{j))$ ${\displaystyle \sum _{n\geqslant 1}c_{n))$ $c_n$ ${\displaystyle a_{i}b_{j))$

For at anvende produkterne af serier er det vigtigt, at nøglereglen overholdes (princippet om multiplikativitet af summen af en serie): Summen af et serie-produkt skal være lig med produktet af summen af serie-faktorer .

Dette er dog ikke altid tilfældet - multiplikativitet finder kun sted under visse betingelser. Eksempler på produkter og betingelser for gennemførligheden af multiplicitetsprincippet:

1. Det direkte produkt af serier er den enkleste og mest naturlige (men ikke generelt accepteret!) Regel for multiplikation af serier. I dette tilfælde

${\displaystyle c_{n}=\sum \limits _{\max\{i,j\}=n}a_{i}b_{j))$ - Per definition;
$c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}=(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})(b_{1}+b_{2} +\ldots +b_{n})$ (delsummen af produktserien er lig med produktet af de tilsvarende delsummer af multiplikatorserien);
Multiplikativitet: - altid, så snart serierne (A) og (B) konvergerer (konvergensen af rækken (C) leveres automatisk i dette tilfælde). ${\displaystyle \sum \limits _{n\geqslant 1}c_{n}=\sum \limits _{i\geqslant 1}a_{i}\sum \limits _{j\geqslant 1}b_{j))$

2. Cauchys regel om multiplikation af rækker (svarer til reglen om multiplikation af potensrækker, er også almindeligt accepteret for rækker af generel form):

${\displaystyle c_{n}=\sum \limits _{i+j=n}a_{i}b_{j))$ - Per definition;
Multiplikativitet: , under en af betingelserne: ${\displaystyle \sum \limits _{n\geqslant 1}c_{n}=\sum \limits _{i\geqslant 1}a_{i}\sum \limits _{j\geqslant 1}b_{j))$
1. hvis alle tre serier (A), (B), (C) konvergerer ( Abel -tilstand );
2. serierne (A) og (B) konvergerer, og en af dem er absolut ( Mertens tilstand ).

3. Dirichlets regel - bruges til at multiplicere rækker af en speciel type ( Dirichlet-rækken )

${\displaystyle c_{n}=\sum \limits _{i\cdot j=n}a_{i}b_{j))$ - Per definition;
Multiplikativitet: forudsat at rækkerne (A) og (B) konvergerer, og en af dem er absolut (Mertens-tilstand). ${\displaystyle \sum \limits _{n\geqslant 1}c_{n}=\sum \limits _{i\geqslant 1}a_{i}\sum \limits _{j\geqslant 1}b_{j))$

Eksempel , når serierne (A) og (B) konvergerer (ikke-absolut), og deres produkt ifølge Cauchy-reglen divergerer: , ved . $a_{n}=b_{n}=(-1)^{n}/{\sqrt {n))$ $n\geqslant 1$

Så, hvis , Så , og modulet af det fælles udtryk i serien har ikke tendens til nul. $i+j=n$ $|a_{i}b_{j}|\geqslant {\frac {2}{n))$ $|c_{n}|\geqslant (n-1)\cdot {\frac {2}{n))$

Permutation af medlemmer af serien

Hvis en serie konvergerer absolut , så konvergerer enhver serie opnået fra den ved en permutation af vilkår også absolut og har samme sum som den oprindelige serie ( seriepermutationssætning ).
Hvis rækken betinget konvergerer , så for et givet reelt tal (såvel som for , ), kan vilkårene for denne serie omarrangeres på en sådan måde, at den transformerede række konvergerer til dette tal (divergerer til , ), eller grænsen for rækkefølgen af delsummer vil ikke eksistere ( Riemanns sætning ). $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$

Se også

Integrationsmetoder

Sekvenser og rækker
Sekvenser	Numerisk rækkefølge Grundlæggende rækkefølge Lineær tilbagevendende sekvens Fibonacci-tal krøllede tal Faktoriel Barker-sekvens de bruijn rækkefølge
Rækker, grundlæggende	Rækkesum Resten af rækken Betinget konvergens Skiftende serie Række multisektion
Talserier ( operationer med talserier )	harmoniske serier Leibniz-serien En række omvendte firkanter En række gensidige primtal Dirichlet række Mercator serien Række Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionelle rækker	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serien Trigonometrisk Fourier-serie trigonometriske serier Wiener-serien
Andre rækketyper	Neumann-serien Puiseux række