Symmetrigrupper

Symmetrigruppe (også symmetrigruppe ) af et eller andet objekt (et polyeder eller et sæt punkter fra et metrisk rum ) er gruppen af ​​alle transformationer, for hvilke dette objekt er en invariant , med sammensætning som en gruppeoperation. Som regel betragtes sæt af punkter af n - dimensionelt euklidisk rum og bevægelser af dette rum, men begrebet symmetrigruppe bevarer sin betydning i mere generelle tilfælde.

Eksempler

• Symmetrigruppen af ​​et segment i et-dimensionelt rum indeholder to elementer: den identiske transformation og refleksion i forhold til midten af ​​segmentet. Men i det todimensionelle euklidiske rum er der allerede 4 bevægelser, der transformerer det givne segment til sig selv. I tredimensionelt rum har et segment et uendeligt sæt af symmetrier (elementerne i symmetrigruppen vil især være rotationer gennem en vilkårlig vinkel omkring linjen, der indeholder dette segment).
• Symmetrigruppen i en ligesidet trekant i et plan består af en identisk transformation, rotationer med 120° og 240° rundt om trekantens centrum og refleksioner om dens højder. I dette tilfælde består symmetrigruppen af ​​6 transformationer, der udfører alle mulige permutationer af trekantens hjørner. Derfor er denne gruppe isomorf til den symmetriske gruppe S3 . Imidlertid har symmetrigruppen i en firkant orden 8, og den symmetriske gruppe S4 er isomorf med symmetrigruppen i et regulært tetraeder.
• Symmetrigruppen i en skalatrekant er triviel, det vil sige, den består af et element, den identiske transformation.
• Hvis vi antager, at den menneskelige krop er spejlsymmetrisk, så består dens symmetrigruppe af to elementer: en identisk transformation og en refleksion om et plan, der deler kroppen i højre og venstre dele, der er symmetriske med hinanden.
• En vilkårlig periodisk tessellation af et plan (eller et ornament [1] ) har en symmetrigruppe, hvis elementer på alle mulige måder kombinerer et bestemt fast fliseelement med hvert element kongruent til det. Dette er et særligt (todimensionelt) tilfælde af krystallografiske grupper, som vil blive diskuteret nedenfor.
• Symmetrigrupper af gitter. I forskellige områder af matematik bruges forskellige begreber af et gitter. I særdeleshed:
  • I faststoffysik og teorien om krystallografiske grupper er et krystalgitter et sæt punkter i et affint rum  med translationel symmetri . Symmetrierne i dette sæt skal bevare afstanden mellem punkter, det vil sige bevægelser . Gruppen af ​​disse bevægelser er en krystallografisk gruppe (eller surjektivt homomorfisk afbildning til en krystallografisk gruppe) [2] .
  • I gruppeteori er et gitter  en gruppe isomorf med en bilineær form på den (i det tredimensionelle euklidiske rum svarer det til Bravais-gitteret fra teorien om krystallografiske grupper med en udpræget oprindelse). Symmetrierne af et sådant gitter skal være automorfier af gruppen . Gruppen af ​​sådanne automorfier er i modsætning til den krystallografiske gruppe begrænset, hvis den bilineære form af gitteret svarer til det euklidiske rum [3] .
• Symmetrigruppen i en differentialligning er en gruppe af transformationer af variable, der bevarer ligningens form og derfor transformerer løsninger af ligningen til løsninger, der generelt set ikke falder sammen med de oprindelige.

Klassifikation

Det antages nedenfor, at for hvert punkt er sættet af billeder , hvor  er symmetrigruppen, topologisk lukket.

Endimensionelt rum

Hver bevægelse af et-dimensionelt rum er enten en overførsel af alle punkter på en ret linje til en bestemt afstand eller en refleksion om et punkt. Sættet af punkter i et-dimensionelt rum har en af ​​følgende symmetrigrupper:

• triviel gruppe C 1
• gruppe bestående af identitetstransformation og refleksion omkring et punkt (isomorf til den cykliske gruppe C 2 )
• uendelige grupper bestående af potenser af en vis overførsel (isomorf til en uendelig cyklisk gruppe)
• uendelige grupper, hvis generatorer er en vis oversættelse og refleksion med hensyn til et eller andet punkt;
• gruppen af ​​alle oversættelser (isomorfisk til den additive gruppe af reelle tal)
• gruppen af ​​alle oversættelser og refleksioner med hensyn til hvert punkt på en linje

Todimensionelt rum

I det todimensionelle tilfælde er symmetrigrupperne opdelt i følgende klasser:

• cykliske grupper C 1 , C 2 , C 3 , … bestående af rotationer omkring et fast punkt med vinkler, der er delelige med 360°/ n
• dihedrale grupper D 1 , D 2 , D 3 , …
• speciel ortogonal gruppe SO(2)
• ortogonal gruppe O(2)
• 7 grupper af kantsten
• 17 ornamentgruppe (eller flade krystallografiske grupper )
• uendelige grupper, der opnås fra endimensionelle symmetrigrupper ved at tilføje translationer langs retningen vinkelret på den oprindelige linje
• det foregående afsnit, hvortil symmetri om den oprindelige linje er tilføjet.

Tredimensionelt rum

Listen over endelige symmetrigrupper består af 7 uendelige serier og 7 tilfælde betragtet separat. Denne liste omfatter 32-punkts krystallografiske grupper og symmetrigrupper af regulære polyedre .

Kontinuerlige symmetrigrupper omfatter:

• symmetrigruppe af en ret cirkulær kegle
• symmetrigruppe af en cirkulær cylinder
• kuglens symmetrigruppe

Se også

• Almindelige polyedre
• Liste over krystallografiske grupper
• Punktsymmetrigruppe

Noter

1. ↑ I matematik kaldes flisebelægningen af ​​rummet mosaik eller parket .
2. ↑ Pascal Auscher, T. Coulhon, Alexander Grigoryan. Varmekerner og analyse af manifolder, grafer og metriske rum. - AMS, 2003. - S. 288. - ISBN 0-8218-3383-9 .
3. ↑ JH Conway og NJA Sloane. Kuglepakninger, gitter og grupper . — 3. udg. - Springer-Verlag New York, Inc., 1999. - S.  90 . — ISBN 0-387-98585-9 .

Litteratur

• G. Weil. Symmetri. — M .: Nauka, 1968.
• Miller, Willard Jr. Symmetrigrupper og deres applikationer . - New York: Academic Press, 1972.