Galois gruppe

Galois-gruppen er den gruppe, der er knyttet til feltudvidelsen . Spiller en vigtig rolle i studiet af feltudvidelser , især i Galois-teorien . Dette koncept (i sammenhæng med permutationsgruppen af rødderne til et polynomium ) blev introduceret i matematikken af Evariste Galois i 1832.

Definition

Lad feltet K være Galois-udvidelsen af feltet P . En en-til-en afbildning af et felt K på sig selv kaldes en automorfi , hvis den afbilder summen til summen, og produktet til produktet, det vil sige, hvis for nogle elementer i feltet K lighederne $f$ $a,b$

f(a+b)=f(a)+f(b),\ f(ab)=f(a)\cdot f(b).

Galois-gruppen for en given feltudvidelse er samlingen af alle automorfier af feltet K , der bevarer elementer i feltet P :. Normalt betegnet som G ( K , P ) eller Gal ( K , P ). $\forall a\in P\;f(a)=a$

Egenskaber

Galois-gruppen af en endelig forlængelse er endelig . Dens rækkefølge (antal elementer) er lig med ekspansionsgraden [ K : P ].

Eksempler

Hvis det udvidede felt falder sammen med det oprindelige, så indeholder Galois-gruppen kun ét element: enheden (identitetsautomorfi).
For at udvide feltet af reelle tal til feltet for alle komplekse tal , indeholder Galois-gruppen 2 elementer: enheden og kompleks konjugation .
Udvidelsesfeltet består af tal af formen , hvor a , b er rationelle tal . Galois-gruppen indeholder her 2 elementer: enheden og operationen, der ændrer 2. leds fortegn med . ${\mathbb {Q}}[{\sqrt {2}}]$ $a+b{\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$
Lad p være et primtal . Overvej endelige felter og , hvoraf det første er naturligt indlejret i det andet. Galois-gruppen i denne udvidelse er cyklisk , den er genereret af Frobenius-automorfismen . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{p))$
Galois-gruppe af en algebraisk ligning [1] .

Overvej en algebraisk ligning af fjerde grad . Det tillader følgende transformationer af x -variablen : . For følger , dvs. Derfor følger det, at . Det betyder, at ligningen kan transformeres .

P(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0

y=1/x,\ y=x^{2},\ y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

y=1/x

y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)/x ^{4}

{\displaystyle P(y)=P(x)/x^{4))

P(x)=0

P(y)=0

P(x)=0

y=1/x

For det viser sig . At dividere denne ligning med originalen giver . Så transformationen er også tilladt af ligningen .

y = x^2

P(y)=y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^ {2}+1

P(x)

P(y)=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)P(x)

y = x^2

P(x)

Tilsvarende for transformationen kan følgende transformationsformel opnås: .

y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

P(y)=(x^{8}+3x^{7}+6x^{6}+9x^{5}+9x^{4}+7x^{3}+4x^{2} +x+1)P(x)

Lad os nu bevise, at ligningen tillader en uendelig gruppe af transformationer , hvor den tager alle heltal (positive og negative) værdier, der ikke er multipla af fem. Lad os først se på udskiftningen . Det følger af denne ligestilling, at , ..., . For at bevise, at ligningen tillader en uendelig gruppe af transformationer for , er det tilstrækkeligt at vise, at transformationen er tilladt . Til denne transformation har vi: . Negative heltalsværdier opnås ved at anvende transformationen . Det er let at bevise, at de resulterende transformationer danner en gruppe.

P(x)

{\displaystyle y=x^{n))

n

x^{4}=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

x^{5}=x\cdot x^{4}=-(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x)=1,\ x^{6}= x\cdot x^{5}=x

{\displaystyle x^{n}=x^{n-5))

P(x)

{\displaystyle y=x^{n))

5\!\ \nmidt n

y=x^{3}

P(y)=x^{12}+x^{9}+x^{6}+x^{3}+1=x^{2}+x^{4}+x+x^ {3}+1=0

n

y=1/x

Den konstruerede gruppe af transformationer transformerer hver rod af en ligning til en rod af den samme ligning. Lad os nu spore, hvordan præcis hver rod af ligningen transformeres under indflydelse af denne gruppe af transformationer. Fra algebraforløbet er det kendt, at ligningens rødder er tal . Transformationen oversætter rod til , rod til , rod til , rod til . Den resulterende substitution er angivet med . På lignende måde kan det påvises, at transformationen fører til en substitution . Transformationen resulterer i en substitution . De resterende transformationer giver ikke nye substitutioner.

{\displaystyle y=x^{n))

P(x)

P(x)

P(x)

x_{1}=z,\ x_{2}=z^{2},\ x_{3}=z^{3},\ x_{4}=z^{4},\ z=e ^{2\pi i/5}

y = x^2

x_{1}

x_{2}

x_{2}

x_{4}

x_{3}

x_{1}

x_{4}

x_{3}

(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3})

y=x^{3}

(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2})

y=x^{-1}

(x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})

Således inducerer gruppen af transformationer af ligningens rødder en endelig gruppe af orden fire, bestående af følgende elementer: . Denne endelige gruppe kaldes Galois-gruppen i ligningen .

{\displaystyle y=x^{n))

P(x)

1,(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3}),(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2}),( x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})

P(x)

Lad være cirkeldelingsfeltet af grad n . Galois-gruppen i en cirkulær forlængelse er isomorf med den multiplikative gruppe af restringens modulo n . $K_n$ $K_{n}/Q$ $Z_{n}^{*}$

Ansøgning

Feltudvidelser

Overvej en kæde af successive feltudvidelser: Konstruer en Galois-gruppe for felter, der er ekstreme i kæden: Ifølge Galois-teoriens hovedsætning svarer hvert mellemfelt i kæden af udvidelser til en undergruppe af gruppen G , dvs. en kæde af feltudvidelser kan associeres med en kæde af indlejrede undergrupper, som indsnævres fra G til de trivielle undergrupper . Hvis vi betragter alle mellemliggende felter på én gang (det vil sige felter i formen ), er denne korrespondance en bijektion fra sættet af mellemfelter til sættet af undergrupper i Galois-gruppen. Desuden er undergrupperne svarende til normale udvidelser normale undergrupper af G og omvendt. $L_{1}\subset L_{2}\subset \cdots \subset L_{n}.$ $G=\operatørnavn {Gal} (L_{n},L_{1}).$ $L_{k}$ $G_{k}$ $L_{1}\undersæt X\undersæt L_{n}$

Denne korrespondance giver os mulighed for at studere endelige udvidelser af felter ved hjælp af gruppeteori. For eksempel følger det umiddelbart, at antallet af mellemfelter for en given normal udvidelse altid er endeligt (som antallet af undergrupper i en endelig gruppe).

Algebraiske ligninger

Hovedfeltet i en algebraisk ligning er et sæt tal, der kan fås ud fra koefficienterne for denne ligning ved hjælp af operationerne addition , subtraktion , multiplikation og division . Et nedbrydningsfelt er et sæt tal, der kan opnås ved hjælp af et endeligt antal af de samme operationer, baseret på ligningens koefficienter og rødder. Hovedfeltet i det generelle tilfælde er kun et underfelt af nedbrydningsfeltet.

Det er sædvanligt at kalde Galois - gruppen dannet af automorfismer af nedbrydningsfeltet for Galois - gruppen i denne ligning . Enhver automorfi fra Galois-gruppen G ( K , P ) kortlægger hver rod af et vilkårligt polynomium over feltet P tilbage til en rod af det samme polynomium. Således kan Galois-gruppen af enhver algebraisk ligning, der ikke har flere rødder , betragtes som en permutationsgruppe (det er sådan, Evarist Galois selv betragtede det ).

Noter

↑ N. Kh. Ibragimov. En kort digression om Galois-gruppen // ABC for gruppeanalyse. - M . : Viden, 1989. - S. 42.

Litteratur

Artin E. Galois teori. - M. : MTSNMO, 2008. - ISBN 978-5-94057-062-2 .
Postnikov M. M. Galois teori. — M .: Nauka, 1963. — 220 s.