Globale felt

Et globalt felt er et felt af en af to typer:

feltet af algebraiske tal , det vil sige en endelig forlængelse af feltet med rationelle tal , $\mathbb {Q}$

eller

globalt felt af funktioner , det vil sige feltet af funktioner på en algebraisk kurve over et endeligt felt , eller tilsvarende, en endelig forlængelse - felter af rationelle funktioner af en variabel over et endeligt felt af elementer. $\mathbb {F} _{q}(T)$ $\mathbb {F} _{q}$ $q$

En aksiomatisk karakterisering af sådanne felter gennem eksponentteori blev givet af Emil Artin og George Voples i 1940. [en]

Definition

Det globale felt er et af følgende felter:

Felt med algebraiske tal

Feltet med algebraiske tal er en endelig forlængelse (og dermed en algebraisk forlængelse ) af det rationelle talfelt . Således er et felt, der indeholder , og har en endelig dimension som et vektorrum over . $F$ $\mathbb {Q}$ $F$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Funktionsfelt på en algebraisk kurve over et begrænset felt

Funktionsfeltet på en sort er mængden af alle rationelle funktioner på denne sort. På en algebraisk kurve (det vil sige på en en-dimensionel manifold ) over et endeligt felt siger vi, at en rationel funktion på en åben affin delmængde er defineret som forholdet mellem to polynomier i en affin koordinatring , og vi mener, at evt. to sådanne funktioner er ækvivalente, hvis de falder sammen i deres skæringspunkt åbne affine sæt. Dette definerer teknisk rationelle funktioner som relationsfeltet af affine koordinatringe af enhver affine delmængde, da hele sættet af alle sådanne delmængder er tæt. $V$ $U$ $U$ $V$

Analogi mellem to klasser af felter

Der er en række formelle ligheder mellem de to typer felter. Uanset felttype er alle dens udfyldninger lokalt kompakte felter (se lokalt felt ). Ethvert felt af enhver type kan realiseres som et relationsfelt af en Dedekind-ring , hvor hvert ideal , der ikke er nul, har et endeligt indeks. I hvert tilfælde er der en "produktformel" for elementer, der ikke er nul : $x$

\prod \limits _{v}|x|_{v}=1.\

Analogien mellem de to slags felter har været en stærk drivkraft i algebraisk talteori . Ideen om en analogi mellem algebraiske talfelter og en Riemann-overflade går tilbage til Dedekind og Weber i det nittende århundrede. En strengere analogi, udtrykt ved ideen om et globalt felt, hvor aspektet af Riemann-overfladen som en algebraisk kurve kortlagt til kurver defineret over et begrænset felt, blev skabt i 1930'erne, hvilket førte til Riemann-hypotesen for kurver over finite fields , underbygget af Weil i 1940 år. Terminologien kan være relateret til Weil, som skrev sin Basic Number Theory (1967) delvist for at udvikle en analogi.

Det er generelt nemmere at arbejde i tilfælde af et funktionsfelt og derefter forsøge at udvikle en lignende teknik på den numeriske feltside. Et dramatisk eksempel er udviklingen af Arakelovs teori og dens brug af Faltings i hans bevis på Mordell-formodningen . Analogien påvirkede også udviklingen af Iwasawas teori og dens hovedhypotese . I beviset for det grundlæggende lemma brugte Langlands-programmet også metoder, der reducerede talfeltet til tilfældet med et funktionsfelt.

Sætninger

Minkowski-Hasse teorem

Minkowski-Hasse-sætningen er et grundlæggende resultat i talteorien , der siger, at to kvadratiske former over et globalt felt er ækvivalente, hvis og kun hvis de er ækvivalente over lokale felter, dvs. ækvivalente i enhver fuldførelse af feltet.

Artins lov om gensidighed

Artins lov om gensidighed indebærer en beskrivelse af abelianiseringen af den absolutte Galois-gruppe af det globale felt , som er baseret på Hasses princip . Det kan beskrives i form af kohomologi som følger: $K$

Lad være en Galois-udvidelse af et lokalt felt med Galois-gruppen . Derefter beskriver den lokale reciprocitetslov den kanoniske isomorfisme $L_{v}/K_{v}$ $G$

\theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v))(L_{v}^{\times })\to G^{\mathrm {ab}},

som kaldes det lokale Artin symbol . [2] [3]

Lad være Galois-udvidelsen af det globale felt, og vær klassegruppen af idele . Kortlægninger for forskellige kan samles til et enkelt globalt symbol gennem produktet af lokale komponenter i idelklassen. En af påstandene i Artins lov om "gensidighed" er, at dette fører til en kanonisk isomorfisme [4] [5] $L/K$ $C_{L}$ $L$ ${\displaystyle \theta _{v))$ $K_{v}$

Noter

↑ Artin & Whaples, 1945 og Artin & Whaples, 1946
↑ Serre (1967) s.140
↑ Serre (1979) s.197
↑ Neukirch (1999) s.391
↑ Jurgen Neukirch , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, s. 408. Faktisk holder en mere præcis version af gensidighedsloven styr på forgreningen.