Hexamino

Hexamino  er en sekscellet polyomino , det vil sige en flad figur bestående af seks lige store firkanter forbundet med sider. Med hexaminofigurer, som med alle polyominoer, er der mange problemer med at underholde matematik.

Hvis vi ikke tæller de forskellige figurer, der er sammenfaldende under rotationer og spejlrefleksioner, så er der 35 forskellige ("frie") former for hexamino (se figur) [1] [2] . Der er 60 typer "ensidige" hexaminoer (hvis spejlrefleksioner betragtes som forskellige figurer) og 216 typer "faste" hexaminoer (drejninger betragtes også som forskellige) [3] .

Hexaminoklassificering efter symmetri

De 35 frie hexaminofigurer kan opdeles i 5 kategorier i henhold til deres symmetriegenskaber:

• 20 hexaminofigurer (vist med gråt på figuren) er asymmetriske;
• 6 hexaminoer (afbildet i rødt) har en symmetriakse parallel med linjerne i det firkantede gitter;
• 2 hexaminoer (afbildet med grønt) har en diagonal symmetriakse;
• 5 hexaminoer (vist med blåt) har en central (rotations) andenordens symmetri;
• De 2 hexaminoer (vist i lilla) har to symmetriakser parallelt med gitterlinjerne.

For ensidede hexaminoer (det vil sige, hvis spejlbillederne af brikkerne betragtes som forskellige), fordobles den første og fjerde kategori i antal, hvilket giver yderligere 25 hexaminoer, i alt 60. For faste hexaminoer (dvs. hvis svingene også behandles som forskellige figurer), vil den første kategori øges med otte gange sammenlignet med frie hexaminoer, de næste tre kategorier med fire gange, og fra den sidste kategori med to. Dette vil give faste hexaminoer.

Kompilering af figurer fra hexamino

Selvom et komplet sæt på 35 hexaminoer har et samlet areal på 210 kvadrater, er det umuligt at danne ethvert rektangel med et sådant område (3x70, 5x42, 6x35, 7x30, 10x21, 14x15) - i modsætning til 12 pentominoer, som kan være bruges til at danne ethvert af rektanglerne 3x20, 4x15, 5x12 og 6x10. Du kan bevise dette ved at farve hexaminoen og rektanglet i et skakternet mønster. Så vil 11 hexaminobrikker have et lige antal kvadrater i begge farver (2 hvide og 4 sorte eller omvendt), og de resterende 24 hexaminobrikker vil have et ulige antal (3 hvide og 3 sorte). I enhver figur, der består af et komplet sæt hexaminoer, vil antallet af kvadrater i hver farve være lige. Men ethvert rektangel på 210 kvadrater vil have 105 sorte kvadrater og 105 hvide kvadrater, hvilket er et ulige tal.

Der er dog andre symmetriske figurer på 210 kvadrater, der kan bestå af hexaminoer. For eksempel har en 15x15 firkant med et 3x5 rektangulært hul i midten 106 hvide og 104 sorte firkanter (eller omvendt) og kan bestå af et komplet sæt af 35 hexaminoer [4] .

Nogle symmetriske hexamino stakke

• "Parallelogram" 15×14 med takkede sider

• Rektangel 19x11 med ét celleudhæng

• Rektangel 13x16 med 2 faner

• "Trekant" med takket hypotenuse

• Rektangel 17×15 med krydshul

Derudover kan 60 ensidede hexaminoer med et samlet areal på 360 enhedskvadrater laves til rektangler på 5x72, 6x60, 8x45, 9x40, 10x36, 12x30, 15x24 og 18x20. [5] .

Kubeudviklinger

11 ud af 35 hexaminofigurer er udfoldede terninger (se figur) [6] . Det er umuligt at tilføje et rektangel med et areal på 66 enhedskvadrater fra dem [7] .

Noter

1. ↑ Golomb, 1975 .
2. ↑ Golomb, 1994 .
3. ↑ Weisstein, Eric W. Hexomino  på Wolfram MathWorld -webstedet .
4. ↑ Hexominos . Hentet 18. september 2011. Arkiveret fra originalen 27. september 2011. (ubestemt)
5. ↑ Gerards Polyomino Solution Page . Dato for adgang: 30. september 2011. Arkiveret fra originalen den 18. januar 2012. (ubestemt)
6. ↑ I. Konstantinov Pentamino et al. Arkivkopi dateret 19. november 2015 på Wayback Machine Science and Life, nr. 4, 2002
7. ↑ Gardner, Matematiske romaner, 1974 .

Litteratur

• Golomb S.V. . Polyomino \u003d Polyominoes / Pr. fra engelsk. V. Firsova. Forord og udg. I. Yagloma . —M.:Mir, 1975. — 207 s.
• Solomon W. Golomb . polyominoer. — 2. udg. - Princeton, New Jersey: Princeton University Press , 1994. - ISBN 0-691-02444-8 .
• Gardner M. Matematiske romaner. — M .: Mir, 1974.
• D. Hugh Redelmeier. Optælling af polyominoer: endnu et angreb // Diskret matematik: journal. - 1981. - Bd. 36. - S. 191-203. - doi : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
• Daniel A. Rawsthorne. Flisekompleksitet af små n -ominoer ( n < 10)  // Diskret matematik: Journal. - 1988. - Bd. 70.—S. 71–75. - doi : 10.1016/0012-365X(88)90081-7 .
• Glenn C. Rhoads. Plane fliser af polyominoer, polyhexes og polyiamonds // Journal of Computational and Applied Mathematics: tidsskrift. - 2005. - Bd. 174. - S. 329-353. - doi : 10.1016/j.cam.2004.05.002 .