En indre automorfi er en slags gruppeautomorfi defineret i form af et fast element i gruppen, kaldet et konjugeret element . Formelt, hvis G er en gruppe, og a er et element i gruppen G , så er den indre automorfi defineret af elementet a afbildningen f fra G ind i sig selv, defineret for alle x fra G af formlen
f ( x ) = a −1 xa .Her bruger vi konventionen om, at gruppeelementer handler til højre.
Operationen x ↦ a −1 xa kaldes konjugation (se også “ Konjugationsklasse ”), og det er ofte interessant at adskille de tilfælde, hvor konjugering ved hjælp af et element efterlader et andet element uændret fra tilfældet, når konjugation transformerer et element til et andet element.
Faktisk, at sige, at konjugering af x med a efterlader x uændret, svarer til at sige, at a og x pendler:
a −1 xa = x ⇔ ax = xa .Således tjener eksistensen og antallet af indre automorfier, der ikke er identiske , som et mål for kommutativitet i en gruppe.
En automorfi af en gruppe G er indre, hvis og kun hvis den er udvidet i en gruppe, der indeholder G [1] .
Udtrykket a −1 xa skrives ofte som potensen af x a . Denne notation bruges fordi reglen ( x a ) b = x ab er opfyldt .
Enhver indre automorfi er selvfølgelig en automorfi af gruppen G , det vil sige en bijektiv kortlægning fra G til G. Det er også en homomorfi , hvilket betyder ( xy ) a = x a y a .
Sammensætningen af to indre automorfier er igen en indre automorfi (som nævnt ovenfor - ( x a ) b = x ab ) og mængden af alle indre automorfier i gruppen G er i sig selv en gruppe (gruppen af indre automorfier i gruppen G ) og er betegnet med Inn( G ) .
Inn( G ) er en normal undergruppe af den fulde automorfigruppe Aut ( G ) af G. Den ydre automorfigruppe Out( G ) er faktorgruppen
Out( G ) ≡ Aut( G )/Inn( G )Gruppen af ydre automorfier afspejler på en måde, hvor mange automorfier af G er indre. Enhver ikke-indre automorfi giver et ikke-trivielt element af gruppen Out( G ) , men forskellige ikke-indre automorfismer kan give de samme elementer i gruppen Out( G ) .
Ved at forbinde et element a ∈ G med en indre automorfi f ( x ) = x a i gruppen Inn( G ) som ovenfor, opnår vi en isomorfi mellem faktorgrupperne G /Z( G ) (hvor Z( G ) er centrum af G ) og gruppen af indre automorfier:
G /Z( G ) = Inn( G ) .Dette er en konsekvens af den første isomorfismesætning , da Z( G ) er præcis det sæt af de elementer i G , der giver identitetskortet, når det bruges til at skabe en indre automorfi (konjugation ændrer intet).
Et resultat af Wolfgang Gaschütz siger, at hvis en gruppe G er endelig og er en ikke-abelsk p -gruppe , så har G en automorfi af orden p til en vis grad, der ikke er indre.
Et åbent problem er, om nogen ikke-abelsk p - gruppe G har en automorfi af orden p . Spørgsmålet har et positivt svar, hvis G opfylder en af følgende betingelser:
Gruppen af indre automorfier Inn( G ) er triviel (det vil sige, den består kun af et neutralt element ), hvis og kun hvis gruppen G er abelsk .
Det er let at vise, at Inn( G ) kun kan være en cyklisk gruppe , når den er triviel.
Indre automorfismer kan udgøre hele automorfigruppen. En gruppe, for hvilken alle automorfier er indre, og hvis centrum er trivielt, kaldes komplet . Dette gælder for alle symmetriske grupper med n elementer, når n ikke er lig med 2 eller 6. Hvis n = 6 , har den symmetriske gruppe en unik ikke-triviel ydre automorfiklasse, og for n = 2 den symmetriske gruppe, selvom den ikke har nogen ydre automorfier, er abelsk, hvilket giver et ikke-trivielt center, og derfor kan gruppen ikke være komplet.
Lad gruppen G falde sammen med dens afledte undergruppe (i engelsk terminologi, den perfekte gruppe ). Hvis gruppen af dens indre automorfismer Inn( G ) er enkel , så kaldes en sådan gruppe G kvasi -simpel .
Givet en ring R og en enhed u fra R , er afbildningen f ( x ) = u −1 xu en automorfi af ringen R . Automorfier af en ring af denne art kaldes indre automorfier af ringen R . Disse automorfier danner en normal undergruppe af automorfigruppen i ringen R.
En Lie-algebra - automorfi 𝔊 kaldes en indre automorfi, hvis den har formen Ad g , hvor Ad er det konjugerede kort over , og g er et element i Lie-gruppen, hvis algebra er lig med 𝔊 . Notationen for en indre automorfi af Lie-algebraer er kompatibel med notationen for grupper i den forstand, at en indre automorfi af en Lie-gruppe genererer en unik indre automorfi af den tilsvarende Lie-algebra.