P-gruppe

p -gruppe - en gruppe , hvor rækkefølgen af hvert element er en potens af et primtal p .

Eksempler

Cyklisk ordregruppe og direkte produkter af sådanne grupper. $p^{n}$
- Hver kommutativ p - gruppe er isomorf i forhold til et af disse eksempler.
Heisenberg-gruppen modulo er det enkleste eksempel på en ikke-kommutativ p - gruppe. $s$
Grigorchuk-gruppen er et eksempel på en uendelig 2-gruppe.

Egenskaber

Centrum for en ikke-triviel endelig p - gruppe er en ikke-triviel gruppe. $Z(P)$ $P$
- Især alle p-grupper er nilpotente .
- Desuden, hvis
en normal undergruppe i en p -gruppe , så . $H$ $P$ $|H\cap Z(P)|>1$
- Denne egenskab fås fra centersætningen, hvis vi tager i betragtning, at enhver undergruppe af en p -gruppe i sig selv er en p -gruppe, og at en normal undergruppe er invariant under konjugationer.

Hvis gruppen er endelig, så er dens rækkefølge også lig med en eller anden potens af p (dette følger af Sylows første sætning ).

Desuden er enhver ordensgruppe en p -gruppe (følger af Legendres sætning ). $p^{n}$

For er antallet af ikke-isomorfe ordensgrupper asymptotisk lig med

n\højrepil\infty

p^{n}

p^{{\frac {2}{27}}\cdot n^{3}+O(n)}

.

Se også

Forbrændingsproblem

Litteratur

Kurosh A. G. Teori om grupper . - 3. udg. — M.: Nauka , 1967. — 648 s. — ISBN 5-8114-0616-9 . (Russisk)
Hall M. Teori om grupper. - M .: Forlag for udenlandsk litteratur, 1962.
Gorenstein D. Finite groups - NY: Harper and Row, 1968.