CW kompleks

CW-kompleks er en type topologisk rum med yderligere struktur (celledeling), introduceret af Whitehead for at tilfredsstille behovene for homotopi teori . I litteratur på russisk bruges også navnene cellulært rum , celledeling og cellulært kompleks . Klassen af cellekomplekser er bredere end klassen af simple komplekser , men bevarer samtidig den kombinatoriske natur, som tillader effektive beregninger.

Definitioner

En åben n -dimensionel celle er et topologisk rum, der er homøomorf i forhold til en åben n -dimensionel kugle (især en nul-dimensionel celle er et singleton rum ). Et CW-kompleks er et Hausdorff topologisk rum X repræsenteret som en forening af åbne celler på en sådan måde, at der for hver åben n -dimensional celle er en kontinuerlig afbildning f fra en lukket n - dimensional kugle til X , hvis begrænsning til det indre af bolden er en homeomorfisme til denne celle ( karakteristisk kortlægning ). I dette tilfælde antages to egenskaber at være opfyldt:

(C) Grænsen for hver celle er indeholdt i foreningen af et endeligt antal celler med mindre dimensioner;
(W) En delmængde af X er lukket, hvis og kun hvis dets skæring med lukningen af hver celle er lukket.

Betegnelserne C og W kommer fra de engelske ord closure-finiteness og weak topology . [1] [2]

Dimensionen af et cellekompleks er defineret som den øvre grænse for dimensionerne af dets celler. Den n'te rygrad i et cellekompleks er foreningen af alle dets celler, hvis dimension ikke overstiger n , standardnotationen for den n'te rygrad i et cellekompleks X er X n eller sk n X . En delmængde af et cellekompleks kaldes et underkompleks , hvis det er lukket og består af hele celler; Især er ethvert skelet af et kompleks dets underkompleks.

Ethvert CW-kompleks kan konstrueres induktivt ved hjælp af følgende procedure: [3]

vi starter med et diskret sæt , hvis punkter betragtes som nuldimensionelle celler; $X^{0}$
ved induktion danner vi det n - te spændende træ fra ( n − 1)-th ved at lime n -dimensionelle celler til det ved hjælp af vilkårlige kontinuerlige afbildninger . $\varphi _{\alpha }:S^{{n-1}}\to X^{{n-1}}.$ $X^n$ $X^{{n-1}}$ $D_{\alpha }$ $x\sim \varphi _{\alpha }(x),$ $x\in \partial D_{\alpha }.$
Det er muligt at afslutte den induktive proces på et sidste trin ved at indstille eller fortsætte den på ubestemt tid ved at indstille [4] . Topologien af den direkte grænse falder sammen med den svage topologi: en delmængde er lukket, hvis og kun hvis dens skæring med hver $X=X^{n},$ $X=\varinjlim X_{i}$ $\varinjlim X_{i}$ $X_{i}.$

Eksempler

Rummet er homotopisk ækvivalent med et CW-kompleks (da det er sammentrækbart ), men det er umuligt at indføre strukturen af et CW-kompleks på det (da alle CW-komplekser er lokalt sammentrækbare ). $\{re^{{2\pi i\theta }}:0\leq r\leq 1,\theta \in {\mathbb Q}\}\subset {\mathbb C}$
Hawaii-øreringen er et eksempel på et topologisk rum, der ikke er homotopisk ækvivalent med noget CW-kompleks.
Ethvert polyeder er naturligt udstyret med strukturen af et CW-kompleks, og en graf er udstyret med et endimensionelt CW-kompleks.
En n -dimensional sfære tillader en cellulær struktur med en nul-dimensionel celle og en n - dimensional celle (da en n -dimensional sfære er homøomorf til kvotientrummet af en n - dimensional kugle langs dens grænse). En anden cellepartition udnytter det faktum, at "ækvator"-indlejringen deler kuglen i to n - dimensionelle celler (øvre og nedre halvkugler). Ved induktion giver dette mulighed for at opnå en celleopdeling af en n - dimensionel kugle med to celler i hver dimension fra 0 til n , og anvendelse af den direkte grænsekonstruktion giver mulighed for at opnå en celleopdeling af en kugle . $S^{{n-1}}\til S^{n}$ $S^{\infty }$
Det virkelige projektive rum tillader en cellulær struktur med en celle i hver dimension og med en celle i hver lige dimension. ${\mathbb {RP}}^{n}$ ${\mathbb {CP}}^{n}$
Grassmannian tillader en opdeling i celler kaldet Schubert-celler .
For enhver kompakt glat manifold kan man konstruere et CW-kompleks homotopisk ækvivalent med det (for eksempel ved at bruge Morse-funktionen ).

Cellehomologi

De enestående homologier af CW-komplekset kan beregnes under anvendelse af de cellulære homologier , dvs. homologierne af det cellulære kædekompleks

\cdots \to {H_{{n+1}}}(X^{{n+1}},X^{{n}})\til {H_{{n}}}(X^{{n} },X^{{n-1}})\til {H_{{n-1}}}(X^{{n-1}},X^{{n-2}})\til \cdots ,

hvor er defineret som det tomme sæt. $X^{{-1}}$

Gruppen er en fri abelsk gruppe, hvis generatorer kan identificeres med de orienterede n -dimensionelle celler i CW-komplekset. Grænsekortlægninger er konstrueret som følger. Lade være en vilkårlig n - dimensionel celle , begrænsningen af dens karakteristiske kort til grænsen, og lad være en vilkårlig ( n − 1)-dimensionel celle. Overvej sammensætning ${H_{{n}}}(X^{{n}},X^{{n-1}})$ $e_{{n}}^{{\alpha }}$ $x,$ $\chi _{{n}}^{{\alpha }}:\partial e_{{n}}^({\alpha }}\cong S^{{n-1}}\to X^{{n- en}}$ $e_{{n-1}}^{{\beta }}$

\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}:S^{{n-1}}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{{n} }^{{\alpha }}\,{\stackrel {\chi _{{n}}^({\alpha }}}{\longrightarrow }}\,X^{{n-1}}\,{\ stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X^{{n-1}}/\left(X^{{n-1}}\setminus e_{{n-1}}^{{\beta }} \right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,S^{{n-1)),

hvor den første mapping identificerer sig med mapping -faktoriseringen, og den sidste mapping identificerer sig med at bruge den karakteristiske mapping af cellen . Derefter grænsekortet $S^{{n-1}}$ $\partial e_{n}^{\alpha },$ $q$ $X^{{n-1}}/\left(X^{{n-1}}\setminus e_{{n-1}}^{{\beta }}\right)$ $S^{{n-1}}$ $e_{{n-1}}^{{\beta }}$

d_{{n}}:{H_{{n}}}(X_{{n}},X_{{n-1}})\til {H_{{n-1}}}(X_{{n- 1}},X_{{n-2}})

givet af formlen

{d_{{n}}}(e_{{n}}^({\alpha }})=\sum _{{\beta }}\deg \left(\chi _{{n}}^{{\ alpha \beta }}\right)e_{{n-1}}^{{\beta }},

hvor er graden af kortlægning , og summen tages over alle ( n − 1)-dimensionelle celler . $\deg \left(\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}\right)$ $\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}$ $x$

Især hvis der ikke er to celler i cellekomplekset, hvis dimensioner afviger med én, så forsvinder alle grænsekortlægninger, og homologigrupperne er frie. For eksempel for lige og nul for ulige. ${H_{{n))}({\mathbb {CP}}^{n},{\mathbb Z})={\mathbb Z}$ $n$

Egenskaber

Homotopi-kategorien af CW-komplekser er ifølge nogle eksperter den bedste mulighed for at konstruere en homotopi-teori. [5] En af de "gode" egenskaber ved CW-komplekser er Whiteheads teorem ( en svag homotopi-ækvivalens mellem CW-komplekser er en homotopi-ækvivalens). For ethvert topologisk rum eksisterer der et svagt homotopisk ækvivalent CW-kompleks. [6] Et andet nyttigt resultat er, at repræsentative funktorer i homotopikategorien af CW-komplekser har en simpel karakterisering i kategoriske termer ( Browns repræsentativitetssætning ). En cylinder, en kegle og en overbygning over et CW-kompleks har en naturlig cellulær struktur.

På den anden side er et produkt af CW-komplekser med en naturlig fliselægning i celler ikke altid et CW-kompleks - produktets topologi falder muligvis ikke sammen med den svage topologi, hvis begge komplekser ikke er lokalt kompakte. Topologien af et produkt i kategorien kompakt genererede rum falder dog sammen med den svage topologi og definerer altid et CW-kompleks [7] . Funktionsrummet Hom ( X , Y ) med den kompakt-åbne topologi er generelt set ikke et CW-kompleks, men ifølge John Milnors sætning [8] er det homotopi svarende til et CW-kompleks under betingelsen at X er kompakt .

En dækning af et CW-kompleks X kan udstyres med strukturen af et CW-kompleks på en sådan måde, at dets celler kortlægges homøomorf på cellerne i X.

Finite CW-komplekser (komplekser med et begrænset antal celler) er kompakte. Enhver kompakt delmængde af et CW-kompleks er indeholdt i et endeligt underkompleks.

Noter

↑ Whitehead, 1949 , s. 214.
↑ Fomenko, Fuchs, 1989 , s. 35.
↑ Hatcher, 2011 , s. fjorten.
↑ Se artiklen direkte grænse .
↑ Se for eksempel D. O. Baladze . Cellepartition - artikel fra Mathematical Encyclopedia.
↑ Hatcher, 2011 , s. 445-446.
↑ Martin Arkowitz. Introduktion til Homotopi teori . - Springer, 2011. - S. 302 . — ISBN 9781441973290 .
↑ Milnor, John. På rum med homotopitypen som et CW-kompleks // Trans. amer. Matematik. Soc.. - 1959. - T. 90 . — S. 272–280 .

Litteratur

JHC Whitehead. kombinatorisk homotopi. I. // Bull. amer. Matematik. Soc.. - 1949. - Vol. 55.—S. 213–245.
JHC Whitehead. kombinatorisk homotopi. II. // Bull. amer. Matematik. Soc.. - 1949. - Vol. 55.—S. 453–496.
Hatcher, A. Algebraisk topologi / Per. fra engelsk. V. V. Prasolova, red. T. E. Panova. - M. : MTSNMO, 2011. - 688 s. — ISBN 978-5-94057-748-5 .
A. T. Fomenko, D. B. Fuks. Homotopi topologi kursus. - M. : Nauka, 1989. - 528 s.