Hawaii øreringe

Hawaii-øreringen er et topologisk rum, der svarer til foreningen af cirkler på det euklidiske plan med centre i punkter og radier (for alle positive heltal ). Rummet er homøomorft i forhold til etpunktskomprimeringen af en tællig forening af åbne intervaller ( ). $H$ $\mathbb {R} ^{2}$ $(1/n,0)$ $1/n$ $n$ $H$ $\mathbb {R} ^{+}\setminus \mathbb {N}$

Hawaii-øreringen er kompakt og kan monteres med fuld gauge . Det er sti -forbundet, men ikke semi- lokalt blot forbundet .

Den hawaiianske ørering ligner ved første øjekast en buket af et tælleligt antal cirkler, men de er ikke homøomorfe topologiske rum. Topologien af den hawaiianske ørering er svagere : ethvert kvarter i cirklernes skæringspunkt indeholder alle undtagen et begrænset antal cirkler, mens der for en buket er kvarterer, der ikke indeholder nogen cirkler. Desuden er en buket med et tælleligt antal cirkler ikke kompakt.

Fundamental gruppe

Den hawaiianske ørering er ikke blot forbundet , da løkken , der parametriserer nogen af dens cirkler, ikke er homotop til den trivielle. Derfor har den en ikke-triviel fundamental gruppe . $G$

Der er en kontinuerlig kortlægning fra en buket med tælleligt mange cirkler til , det inducerer en indlejring af bukettens grundlæggende gruppe ( en fri gruppe med tælleligt mange generatorer) i . Gruppen indeholder også andre elementer - homotopiklasser af sløjfer, der ikke er indeholdt i nogen endelig delmængde af Hawaii-øreringens cirkler; et eksempel er en løkke, der "vinder" et segment rundt om den th cirkel. $H$ $G$ $G$ $[2^{-n},2^{-(n-1)}]$ $n$

Derudover indlejrer den i den projektive grænse for frie grupper (forbinder kortlægninger fra for at tage den sidste generator til gruppens identitet). Denne kortlægning er dog ikke surjektiv ; dens billede indeholder præcis de elementer af den omvendte grænse, hvor hver af generatorerne forekommer et begrænset antal gange. Et eksempel på et element, der ikke ligger i billedet af denne kortlægning, er en uendelig kommutator . $G$ $F_{n}$ $F_{n}$ $F_{{n-1}}$ $[\gamma _{1},\gamma _{2}][\gamma _{1},\gamma _{3}]\ldots$

Gruppen er utallige og er ikke gratis. Selvom dens abelisering ikke har en simpel beskrivelse, eksisterer der en normal undergruppe i , sådan som er isomorf for Baer-Specker-gruppen . Det kaldes en uendelig abelisering eller en stærk abelisering , da den består af præcis de elementer, hvis koordinater (hvis du tænker på som en undergruppe af den projektive grænse ) ligger i kommutatorundergruppen af den tilsvarende frie gruppe . På en måde kan man tale om lukningen af kommutatoren . $G$ $G$ $N$ $G/N$ $\prod _{i=0}^{\infty }\mathbb {Z}$ $G$ $N$ $G$ $N$ $G$

Relaterede patologiske rum

Keglen over Hawaii-øreringen giver et eksempel på et enkelt forbundet (især semilokalt enkelt forbundet), men ikke lokalt enkelt forbundet rum.
- Et mellemrum limet fra to kopier af en sådan kegle på et punkt, baseret på hvilket øreringens ringe rører hinanden, giver et eksempel på et rum med en ikke-simpelt forbundet universalbeklædning, hvilket er trivielt.

Litteratur

Hatcher, A. Algebraisk topologi / Per. fra engelsk. V. V. Prasolova, red. T. E. Panova. - M. : MTSNMO, 2011. - S. 69-70. — ISBN 978-5-94057-748-5 .
Cannon, JW; Conner, GR Den store fundamentale gruppe, store hawaiianske øreringe og de store gratis grupper // Topologi og dens applikationer. - 2000. - Vol. 106. - Udstedelse. 3 . - S. 273-291. - doi : 10.1016/S0166-8641(99)00104-2 .
Conner, G.; Spencer, K. Anomal adfærd hos Hawaii-øreringegruppen // Journal of Group Theory. - 2005. - Bd. 8. - Udstedelse. 2 . - S. 223-227. - doi : 10.1515/jgth.2005.8.2.223 .
Eda, K. endimensionelle vilde rum og den hawaiianske ørering] // Proceedings of the American Mathematical Society. — Bd. 130. - Udgave. 5 . - S. 1515-1522. - doi : 10.1090/S0002-9939-01-06431-0 .
Eda, K.; Kawamura, K. Hawaii-øreringens enestående homologi // Journal of the London Mathematical Society. — Bd. 62. - Udstedelse. 1 . - S. 305-310. - doi : 10.1112/S0024610700001071 .
Fabel, P. Den topologiske hawaiianske øreringe er ikke indlejret i den omvendte grænse for frie grupper // Algebraic & Geometric Topology. — Bd. 5. - P. 1585-1587. - doi : 10.2140/agt.2005.5.1585 .
Morgan, JW; Morrison, I. A van Kampens teorem for svage forbindelser // Proceedings of the London Mathematical Society. — Bd. 53, nr. 3 . - S. 562-576. - doi : 10.1112/plms/s3-53.3.562 .
Biss, Daniel K. En generaliseret tilgang til den grundlæggende gruppe // American Mathematical Monthly. - MAA, 2000. - T. 107 , nr. 8 . — S. 711–720 . - doi : 10.2307/2695468 .