Homotopi

Homotopi er en familie af kontinuerlige kortlægninger , der kontinuerligt afhænger af en parameter, mere præcist, en kontinuerlig kortlægning . $F_{t}\colon X\to Y,\;t\in [0,1]$ $F\kolon [0,1]\ gange X\ til Y$

Relaterede definitioner

Kortlægninger kaldes homotopiske ( ), hvis der eksisterer en homotopi sådan, at og . $f,g\kolon X\til Y$ $g\sim f$ $f_t$ $f_0=f$ $f_1=g$
- Dette definerer en ækvivalensrelation mellem kontinuerlige kortlægninger . $X\ til Y$

Homotopi ækvivalens af topologiske rum og er et par kontinuerlige afbildninger og sådan, at og , her betegner homotopi af afbildninger. I dette tilfælde siges c også at have én homotopitype . $x$ $Y$ $f\kolon X\til Y$ $g\kolon Y\til X$ $f\circ g\sim \operatørnavn {id}_{Y}$ $g\circ f\sim \operatørnavn {id}_{X}$ $\sim$ $x$ $Y$
- Hvis og er
homøomorfe ( ), så er de homotopisk ækvivalente; det modsatte er ikke sandt generelt. $x$ $Y$ $X\simeq Y$
En homotopi-invariant er en karakteristik af et rum, der er bevaret under homotopi-ækvivalens af topologiske rum; det vil sige, at hvis to rum er homotopisk ækvivalente, så har de samme karakteristika. For eksempel: forbundethed , grundgruppe , Euler-karakteristik .

Hvis på en delmængde for alle med , så kaldes det homotopi med hensyn til og homotopi med hensyn til . $A\delmængde X,\;F(t,a)=f(a)$ $t$ $a\i A$ $F$ $EN$ $f$ $g$ $EN$

En mapping, der er homotopisk til en konstant, det vil sige en mapping til et punkt, kaldes kontraktibel eller homotopisk til nul .

Variationer og generaliseringer

En isotopi er en homotopi af et topologisk rum med hensyn til et topologisk rum , hvor kortlægningen for enhver er en homøomorfi på . $x$ $Y$ $f_{t}\kolon X\til Y,\;t\i [0,1]$ $t$ $f_t$ $x$ $f_{t}(X)\undersæt Y$

En kortlægning kaldes en svag homotopiækvivalens, hvis den inducerer en isomorfi af homotopigrupper . Et underrum af et topologisk rum , således at inklusionen er en svag homotopiækvivalens, kaldes et repræsentativt underrum . $f\kolon X\til Y$ $EN$ $x$ $A\delmængde X$

Hvis og der er vilkårlige bundter over , så kaldes homotopien fibervis, hvis morfismerne er fibervis homotopiske, hvis der eksisterer en fibervis homotopi , for hvilken lighederne og morfismen er fibervis homotopiækvivalens, hvis der eksisterer en morfisme sådan, at og er fibervis homotop Bunter og tilhører den samme fibervise homotopi-type, hvis der er mindst én lagdelt ækvivalens $\varphi :E\to X$ $\varphi ':E'\to X$ $x,$ $f_{t}:E\to E'$ $\varphi 'f_{t}=\varphi .$ $f,g:E\to E'$ $f_{t}:E\to E',$ $f_{0}=f$ $f_{1}=g.$ $f:E\to E'$ $g:E'\to E$ $gf$ $fg$ $\mathrm {Id} .$ $E$ $E'$ $f:E\to E'.$

Se også

Litteratur

Vasiliev V. A. Introduktion til topologi. - M. : FAZIS, 1997. - 132 s. — ISBN 5-7036-0036-7 .
Rokhlin V. A., Fuchs D. B. Indledende topologiforløb. Geometriske hoveder. — M .: Nauka, 1977
Spanier E. Algebraisk topologi. — M .: Mir, 1971