K-space (topologi)

k - rum(kompakt genereret rum) eret topologisk rum, hvor alle mængder er lukkede, hvis skæringspunkt med hverkompaktdelmængde af dette rum er lukket. Hertil føjes ofte rummet Hausdorff

Definition

Et topologisk rum kaldes et k - rum, hvis dets topologi er i overensstemmelse med familien af alle dets kompakte underrum, det vil sige, hvis en af følgende ækvivalente betingelser er opfyldt for hver delmængde: $x$ $A\delmængde X$

Et sæt lukkes ind, hvis og kun hvis nogen af dets krydsninger med hvert kompakt sæt er lukket i dette sæt . $EN$ $x$ $A\cap K$ $K\undersæt X$ $K$
Et sæt er åbent i, hvis og kun hvis hvert kryds mellem det med hvert kompakt sæt er åbent i dette sæt . $EN$ $x$ $A\cap K$ $K\undersæt X$ $K$

Ofte forstås et k - rum som kun Hausdorff-rum , der opfylder ovenstående definition.

For Hausdorff-rum kan man give følgende ækvivalente definition af et k -rum: et Hausdorff-rum er et k -rum , hvis og kun hvis det er billedet af et lokalt kompakt Hausdorff-rum under faktorkortlægningen (det vil sige, det er homøomorft til noget kvotientrum af et lokalt kompakt Hausdorff-rum ). $x$

Mappings in k - spaces

En afbildning af et k - rum til et vilkårligt topologisk rum er kontinuert, hvis og kun hvis enhver begrænsning af denne afbildning til et kompakt sæt er kontinuert. $f\kolon X\til Y$ $x$ $Y$ $f|_{K}$ $K$

En kontinuerlig afbildning af et vilkårligt topologisk rum til et k - rum er lukket ( åben , kvotient ), hvis og kun hvis, for hver kompakt delmængde fra området , begrænsningen af denne afbildning er lukket (henholdsvis åben, kvotient). $f\kolon X\til Y$ $x$ $Y$ $K$ $Y$ $f_{K}\colon f^{{-1}}(K)\til K$

Hvis der gives to faktorielle afbildninger og , hvis domæner og og produktet af deres intervaller er k - rum, så er det kartesiske produkt af disse afbildninger en faktoriel afbildning. $f_{1}\colon X_{1}\til Y_{1}$ $f_{2}\colon X_{2}\til Y_{2}$ $X_{1}$ $X_{2}$ $Y_{1}\ gange Y_{2}$ $f_{1}\ gange f_{2}\colon X_{1}\ gange X_{2}\til Y_{1}\ gange Y_{2}$

Gemmer på operationer

Hvert åbent og hvert lukket underrum i et Hausdorff k - rum er et k - rum. Et vilkårligt underrum af et Hausdorff k - rum behøver imidlertid ikke at være et k - rum.

Summen af en familie af topologiske rum er et k -rum, hvis og kun hvis alle rum fra denne familie er k -rum.

Produktet af et Hausdorff k - rum og et lokalt kompakt Hausdorff-rum er et k - rum. Desuden er produktet af to k -rum generelt ikke et k - rum.

Hausdorff-billedet af et Hausdorff k - rum under en faktoriel (især åben eller lukket) kortlægning er et k - rum. Desuden er billedet af et Hausdorff k - rum under en vilkårlig kontinuerlig mapping muligvis ikke et k - rum, selvom det er helt normalt .

Relation til andre klasser af rum

Hvert Cech-komplet rum (især hvert lokalt kompakt Hausdorff-rum, og dermed hver topologisk manifold ) er et k - rum.

Hvert sekventielt rum (især ethvert rum med det første aksiom for tællelighed , og dermed ethvert metrisk rum ) er et k - rum.

Ethvert mellemrum af punktvis tællig type er et k - mellemrum.

Hvert CW-kompleks er et k -rum.

Litteratur

Engelking, R. Generel topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 s.
Kelly, J.L. Generel topologi. — M .: Nauka, 1968.
Spanier, E. Algebraisk topologi. — M .: Mir , 1971. — 680 s.