Kegle

En kegle (gennem tysk Konus og latin cōnus , fra andet græsk κώνος [1] - "fyrkogle" [2] ) er en overflade dannet i rummet af et sæt stråler (der danner en kegle), der forbinder alle punkter i en bestemt flad kurve ( keglens føring) med et givet punkt i rummet (keglens spids) [3] .

Hvis keglens føring er en lukket kurve, tjener den koniske overflade som grænsen for et rumligt legeme , som også kaldes "keglen" (se figuren), og det indre af denne kurve kaldes "basen af keglen" kegle", hvis bunden af keglen er en polygon , er en sådan kegle en pyramide .

Nogle gange overvejes lige linjer i stedet for stråler, så opnås en dobbeltkegle, der består af to dele symmetrisk i forhold til toppen.

Keglen og relaterede keglesnit spiller en stor rolle i matematik, astronomi og andre videnskaber.

Relaterede definitioner

Keglens laterale overflade er foreningen af keglens generatorer; en kegles generatrix er en konisk overflade .
Højden af en kegle er et segment, der falder vinkelret fra toppen til bundens plan (såvel som længden af et sådant segment).
Kegleåbningsvinklen er vinklen mellem to modsatte generatricer (vinklen i toppen af keglen, inde i keglen).
Taper - forholdet mellem højden og diameteren af keglens bund.

Typer af kegler

Lige cirkulær kegle
Lige og skrå cirkulære kegler med samme base og højde: deres volumen er den samme
Afkortet højre cirkulær kegle

En højre kegle er en kegle, hvis basis har et symmetricentrum (f.eks. er en cirkel eller ellipse ), og den ortogonale projektion af toppen af keglen på basisplanet falder sammen med dette centrum; mens den lige linje, der forbinder toppen og midten af basen, kaldes keglens akse .
Skrå (eller skrå ) kegle - en kegle, hvor den ortogonale projektion af toppunktet til basen ikke falder sammen med dens symmetricentrum.
En cirkulær kegle er en kegle, hvis basis er en cirkel.
Omdrejningskegle , eller en ret cirkulær kegle (ofte mener de det nøjagtigt med en kegle) - en kegle, der kan opnås ved at rotere (det vil sige et omdrejningslegeme ) af en retvinklet trekant rundt om en linje, der indeholder trekantens ben (denne linje er keglens akse).
En kegle baseret på en ellipse , parabel eller hyperbel kaldes henholdsvis elliptisk , parabolsk og hyperbolsk kegle : de sidste to har uendelig volumen.
En keglestub eller konisk lag er en del af en kegle, der ligger mellem bunden og et plan parallelt med bunden og placeret mellem toppen og bunden.
En ligesidet kegle er en omdrejningskegle, hvis generatrix er lig med diameteren af basen [4] .

Egenskaber

Hvis arealet af basen er begrænset, så er keglens volumen også begrænset og er lig med en tredjedel af produktet af højden og arealet af basen.

V={1\over 3}SH,

hvor S er grundarealet, H er højden. Således har alle kegler baseret på en given base (af begrænset areal) og med et toppunkt placeret på et givet plan parallelt med basen det samme volumen, da deres højder er ens.

Tyngdepunktet for enhver kegle med begrænset volumen ligger i en fjerdedel af højden fra bunden.
Rumvinklen ved toppunktet af en ret cirkulær kegle er lig med

2\pi \venstre(1-\cos {\alpha \over 2}\højre),

hvor α er keglens åbningsvinkel.

Det laterale overfladeareal af en ret cirkulær kegle er lig med

S=\pi Rt,

men generelt

S={\frac {tl}{2)),

hvor R er basens radius, er længden af generatricen, er længden af basisgrænsen.

{\displaystyle t={\sqrt {R^{2}+H^{2))))

l

Det samlede overfladeareal (det vil sige summen af arealerne af sidefladen og basen) er lig med

S=\pi R(t+R),

for en ret cirkulær kegle og

S={\frac {tl}{2}}+S_{\text{oc)),

for vilkårlig, hvor er arealet af basen.

S_{\text{oc))

Volumenet af en cirkulær (ikke nødvendigvis lige) kegle er lig med

V={1 \over 3}\pi R^{2}H.

For en afkortet cirkulær kegle (ikke nødvendigvis lige) er volumen:

V={1 \over 3}\pi H(R^{2}+Rr+r^{2}),

hvor og er radierne af henholdsvis den nederste og den øverste base er højden fra planet for den nederste base til den øvre base.

R

r

H

For en vilkårlig afkortet kegle (ikke nødvendigvis lige og cirkulær) er volumen:

V={1 \over 3}(H_{2}S_{2}-H_{1}S_{1}),

hvor og er områderne af henholdsvis den øverste (nærmeste toppen) og den nederste base, og er afstandene fra planet for henholdsvis den øvre og nedre base til toppen.

S_{1}

S_{2}

H_1

H_2

Skæringspunktet mellem et plan og en ret cirkulær kegle er et af de keglesnit (i ikke-degenererede tilfælde, en ellipse , parabel eller hyperbel , afhængigt af skæreplanets position).

Højre cirkulær kegleligning

Ligninger, der definerer sidefladen af en ret cirkulær kegle med en åbningsvinkel på 2Θ , et toppunkt ved koordinaternes begyndelse og en akse, der falder sammen med Oz- aksen :

I et sfærisk koordinatsystem med koordinater ( r , φ, θ) :

\theta =\Theta .

I et cylindrisk koordinatsystem med koordinater ( r , φ, z ) :

z=r\cdot \operatørnavn {ctg}\Theta

eller

r=z\cdot \operatørnavn {tg}\Theta .

I et kartesisk koordinatsystem med koordinater ( x , y , z ) :

z=\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \operatørnavn {ctg}\Theta .

Denne ligning i kanonisk form er skrevet som

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c ^{2}}}=0,

hvor konstanterne a , c er bestemt af forholdet . Dette viser, at sidefladen af en ret cirkulær kegle er en andenordens overflade (det kaldes en konisk overflade ). Generelt hviler en konisk overflade af anden orden på en ellipse; i et passende kartesisk koordinatsystem (akserne Ox og Oy er parallelle med ellipsens akser, keglens toppunkt falder sammen med oprindelsen, ellipsens centrum ligger på aksen Oz ) har dens ligning formen

c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c ^{2}}}=0,

desuden er a/c og b/c lig med ellipsens halvakser. I det mest generelle tilfælde, når keglen hviler på en vilkårlig flad overflade, kan det påvises, at ligningen for keglens laterale overflade (med toppunktet i origo) er givet ved ligningen, hvor funktionen er homogen , at er, opfylder betingelsen for ethvert reelt tal α .

f(x,y,z)=0,

f(x,y,z)

f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^{n}f(x,y,z)

Udvikling

En ret cirkulær kegle som et omdrejningslegeme er dannet af en retvinklet trekant, der roterer rundt om et af benene, hvor h - højden af keglen fra midten af basen til toppen - er benet i den retvinklede trekant, omkring hvilken rotation finder sted. Det andet ben i en retvinklet trekant r er radius i bunden af keglen. Hypotenusen i en retvinklet trekant er l , keglens generatrix.

Kun to værdier r og l kan bruges til at skabe et keglesweep . Basisradius r bestemmer keglebundens cirkel i skanningen, og sektoren af keglens sideflade bestemmer generatricen af sidefladen l , som er radius af sidefladesektoren. Sektorvinklen i udviklingen af keglens laterale overflade bestemmes af formlen: $\varphi$

φ = 360°·( r / l ) .

Variationer og generaliseringer

I algebraisk geometri er en kegle en vilkårlig delmængde af et vektorrum over et felt , for hvilket $K$ $V$ $F$ $\lambda \i F$ $\lambda K=K.$
I topologi er en kegle over et topologisk rum X et kvotientrum ved ækvivalensrelationen $X\ gange [0,\infty )$ $(x,0)\sim (y,0).$
I lineær algebra er der begrebet en konveks kegle .

Se også

Noter

↑ Etymologisk ordbog over det russiske sprog af Max Fasmer
↑ "I κῶνος"
↑ Mathematical Encyclopedic Dictionary, 1988 , s. 288.
↑ Matematisk håndbog . Hentet 22. maj 2020. Arkiveret fra originalen 2. december 2020. (ubestemt)

Litteratur

Korn G., Korn T. Håndbog i matematik (for forskere og ingeniører) . - 2. udg. — M .: Nauka, 1970. — 720 s.
Kegle // Matematisk encyklopædisk ordbog . - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - S. 288 . — 847 s.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk norsk Stor russer Brockhaus og Efron Lille Brockhaus og Efron V. Dahl
I bibliografiske kataloger	NKC : ph973161