Bevægelsesligningen i en ikke-inertiel referenceramme

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 31. januar 2020; checks kræver 12 redigeringer .

Bevægelsesligningerne i en ikke-inertiel referenceramme er bevægelsesligningerne for et materielt punkt (1) i feltet for konservative kræfter i klassisk mekanik , skrevet i en ikke-inertiel referenceramme (NFR), der bevæger sig i forhold til en inertial frame (ISR) med en translationel bevægelseshastighed og en vinkelhastighed for rotationsbevægelse . ${\mathbf {V}}$ $\mathbf {\Omega }$

I ISO har Lagrange-bevægelsesligningen formen [1] [2] :

m{\frac {d\mathbf {v} _{0}}{dt}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} )),

i NSO får ligningen fire yderligere led (de såkaldte " euleriske inertikræfter ") [3] :

m{\frac {d\mathbf {v} }{dt))=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}-m{\frac {d\mathbf {V } }{dt))+m[\mathbf {r} {\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt))]+2m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[\ mathbf {\Omega } [\mathbf {r} \mathbf {\Omega } ]],

(en)

hvor:

fed skrift angiver vektormængder, firkantede parenteser - vektormultiplikation ;
indekset refererer til værdier i ISO; $_{0}$
$t$ - tid;
$m$ er punktets masse;
$\mathbf{v}$ er punkthastighedsvektoren;
$\mathbf {r}$ er punktets radiusvektor ;
$U$ - potentiel energi .

Afledning af formlen

Enhver bevægelse kan dekomponeres til en sammensætning af translationelle og roterende bevægelser [4] . Derfor kan overgangen fra IFR K 0 til NSO K betragtes i form af to på hinanden følgende trin: For det første overgangen fra K 0 til den mellemliggende referenceramme K' , som bevæger sig fremad i forhold til K 0 med en hastighed , og derefter til K , som roterer i forhold til K' med vinkelhastighed . ${\mathbf {V}}$ $\mathbf {\Omega }$

Princippet om mindste handling afhænger ikke af koordinatsystemet, sammen med det er Lagrange-ligningerne også anvendelige i ethvert koordinatsystem.

Lagrangian i K' ,

L'={\frac {m\mathbf {v} '^{2}}{2}}+m\mathbf {v} '\mathbf {V} +{\frac {m\mathbf {V} ^{2}}{2}}-U,

(2)

opnås ved at substituere den translationelle transformation af partikelhastigheden til Lagrangian skrevet i ISO [5] : $\mathbf {v} _{0}=\mathbf {v} '+\mathbf {V}$

L_{0}={\frac {m\mathbf {v} _{0}^{2}}{2}}-U.

Udtrykkene for både IFR og NFR beskriver udviklingen af en partikel i de tilsvarende referencerammer - loven om energibevarelse .

Som det er kendt, kan udtryk, der er totaltidsafledte af nogle funktioner, udelukkes fra Lagrangianerne, da de ikke påvirker bevægelsesligningerne (se Lagrangiansk mekanik ). I formel (2) er en funktion af tiden, og dermed den samlede afledte af en anden funktion af tiden, kan det tilsvarende led udelades. Siden , $\mathbf {V} ^{2}$ $\mathbf {v} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt))$

m\mathbf {v} '\mathbf {V} =m\mathbf {V} {\frac {d\mathbf {r} '}{dt))={\frac {d}{dt))( m\mathbf {V} \mathbf {r} ')-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} ',

hvor den samlede tidsafledte igen kan udelades. Som et resultat forvandles Lagrangian (2) til $m\mathbf {V} \mathbf {r} '$

L'={\frac {m\mathbf {v} '^{2}}{2}}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} '- U.

(3)

Ved bevægelse fra K' til K (ren rotation), ændres hastigheden med . Når du substituerer i ligning (3), dannes Lagrangian i K (under hensyntagen til at ): $[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]$ $\mathbf {v} '=\mathbf {v} +[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]$ $\mathbf {r} =\mathbf {r} '$

L={\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}+m\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+{\frac {m }{2}}[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]^{2}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} -U.

Den samlede forskel for denne Lagrangian ser ud som:

dL=m\mathbf {v} d\mathbf {v} +md\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+m\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } d\mathbf {r} ]+m[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ][\mathbf {\Omega } d\mathbf {r} ]-m{\frac {d\mathbf {V} } {dt}}d\mathbf {r} -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}d\mathbf {r}

Ved at anvende Lagrange-formlen og ændre rækkefølgen af operationer i det blandede produkt af vektorer , kan Lagrange-differentialet omskrives som:

dL=m\mathbf {v} d\mathbf {v} +md\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+md\mathbf {r} [\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]\mathbf {\Omega } ]d\mathbf {r} -m{\frac {d\mathbf {V} }{ dt}}d\mathbf {r} -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}d\mathbf {r} .

De partielle derivater af Lagrangian med hensyn til og vil være: $\mathbf{v}$ $\mathbf {r}$

{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=m\mathbf {v} +m[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ],

{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[[\mathbf {\Omega } \mathbf {r } ]\mathbf {\Omega } ]-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt))-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} ))

Efter at have substitueret de partielle afledte i standard bevægelsesligningen i Euler-Lagrange-formen

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }} ,

formel (1) opnås.

Fysisk betydning

Vektorligning (1) beskriver bevægelsen af et materialepunkt i en ikke-inertiel referenceramme (NRS), der bevæger sig i forhold til en inertiramme (ISR) med en translationshastighed og en vinkelhastighed for rotationsbevægelse . I dette tilfælde erstattes den ydre kraft på kroppen, som giver translationel bevægelse, af et potentielt felt , hvor konservative kræfter virker . [6]

Samtidig kaldes bevægelsen af NFR i forhold til IFR bærbar, som et resultat af hvilken hastigheder, accelerationer og kræfter forbundet med NFR også kaldes bærbar. [7] [8]

Udtrykket er den resulterende vektor af summen af kræfterne på højre side af ligning (1) [9] . $m{\frac {d\mathbf {v} }{dt))$

Den partielle afledning af en partikels potentielle energi i et eksternt felt langs radius-vektoren for "påføringspunktet" af kræfter bestemmer summen af alle kræfter, der virker fra eksterne kilder [9] , $U$ $\mathbf {r}$

-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}

Udtrykket for den bærbare kraft, der virker i et ensartet kraftfelt, som igen er forårsaget af systemets accelererede translationelle bevægelse, har formen

m{\frac {d\mathbf {V} }{dt))

hvor er accelerationen af referencesystemets translationelle bevægelse [9] . ${\frac {d\mathbf {V} }{dt))$ $K'$

"Inertikræfterne" i ligning (1), på grund af rotationen af referencerammen, er sammensat af tre dele.

Den første del er en bærbar kraft forbundet med referencerammens ujævne rotation [9] :

m[\mathbf {r} {\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt))]

Anden del

2m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]

er et udtryk for Coriolis-kraften . I modsætning til næsten alle ikke -dissipative kræfter , der betragtes i klassisk mekanik , afhænger dens værdi af partiklens hastighed [9] .

Den tredje del er repræsenteret af en bærbar centrifugalkraft

m[\mathbf {\Omega } [\mathbf {r} \mathbf {\Omega } ]]

Den ligger i et plan, der går gennem og , og er rettet vinkelret på HCO'ens rotationsakse (det vil sige retningen ), væk fra aksen. Centrifugalkraftens størrelse er , hvor er afstanden fra partiklen til rotationsaksen. [9] $\mathbf {r}$ $\mathbf {\Omega }$ $\mathbf {\Omega }$ ${\displaystyle m\rho \Omega ^{2))$ $\rho$

Noter

↑ Landau, Lifshitz, 1988 , s. 163.
↑ Afledt af en skalær størrelse med hensyn til en vektor her og nedenfor forstås som en vektor, hvis komponenter er afledte af denne skalære størrelse med hensyn til de tilsvarende komponenter i vektoren.
↑ Landau, Lifshitz, 1988 , s. 165.
↑ Arnold, 1979 , s. 107.
↑ Landau, Lifshitz, 1988 , s. 164.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. § 34. Bevægelse af en stiv krop. //T. I. Mekanik. Teoretisk fysik. - 5. - M.: FIZMATLIT, 2004. - S. 166-168. — 222 s. — ISBN 5-9221-0055-6.
↑ Targ S. M. Et kort kursus i teoretisk mekanik. - 20.- Moskva "Higher School", 2010, - S. 156 - 416 s. ISBN 978-5-06-006193-2
↑ Nikolaev V.I. Inertikræfter i det generelle fysikforløb.—"Physical education in universities", v.6, N 2, 2000. - ISSN 1609-3143 (print), 1607-2340 (online).
↑ 1 2 3 4 5 6 Landau L. D., Lifshits E. M. § 34. Bevægelse af en stiv krop. //T. I. Mekanik. Teoretisk fysik. - 5. - M.: FIZMATLIT, 2004. - S. 168. - 222 s. — ISBN 5-9221-0055-6.

Litteratur

L. D. Landau, E. M. Lifshits. § 39. Bevægelse i en ikke-inerti referenceramme // Teoretisk fysik . - M . : Nauka, 1988. - T. I. Mechanics. - S. 163-167. — 216 s. — ISBN 5-02-013850-9 . (Russisk)
V. I. Arnold. § 26. Bevægelse i et bevægeligt koordinatsystem // Klassisk mekaniks matematiske metoder . - M . : Nauka, 1979. - S. 106-110. — 432 s. (Russisk)

mekanisk bevægelse
referencesystem	inerti referenceramme Ikke-inertiel referenceramme Sammensat bevægelse Relativitetsprincippet
Materiale punkt	Ensartet bevægelse Retlineær bevægelse Bevægelsesligning Bevægelsesligninger i en ikke-inertiel referenceramme Bane (sti) bevæger sig Hastighed Acceleration ( centripetal acceleration tangentiel acceleration ) bindestreg
Fysisk krop	translationel bevægelse Plan-parallel bevægelse ( parallel oversættelse ) Sfærisk bevægelse ( Roterende bevægelse Cirkulær bevægelse Præcession nutation )
kontinuum	laminær strømning turbulent flow
Beslægtede begreber	Hastighedsplan Tog trækkraft Seks frihedsgrader