Unikt enkelt

I talteorien er et unikt primtal en bestemt slags primtal . Et primtal p ≠ 2,5 siges at være unikt, hvis der ikke er et andet primtal q , således at længden af ​​perioden for den reciproke decimaludvidelse , 1⁄ p , er lig med længden af ​​perioden 1⁄ q . Unikke primtal blev først beskrevet af Samuel Yates i 1980.

Det kan vises, at et primtal p er unikt med periode n , hvis og kun hvis der eksisterer et naturligt tal c , således at

,

hvor  er det n'te cirkulære polynomium . Der er i øjeblikket over halvtreds unikke primtal eller muligvis primtal kendte . Imidlertid kendes kun treogtyve unikke primtal mindre end 10100 . Tabellen nedenfor viser de 23 unikke primtal mindre end 10.100 ( OEIS-sekvens A040017 ) og deres perioder ( OEIS -sekvens A051627 ):

Periodens længde Enkel
en 3
2 elleve
3 37
fire 101
ti 9,091
12 9,901
9 333.667
fjorten 909.091
24 99.990.001
36 999.999.000.001
48 9.999.999.900.000.001
38 909.090.909.090.909.091
19 1.111,111,111,111,111,111
23 11,111,111,111,111,111,111,111
39 900.900.900.900.990.990.990.991
62 909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
120 100.009.999.999.899.989.999.000.000.010.001
150 10.000.099.999.999.989.999.899.999.000.000.000.100.001
106 9,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
93 900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991
134 909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
294 142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,385,571,428,571,385,571,428,572,
196 999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,000,999,999,999,900,000,

Et primtal med en periode på 294 er som det gensidige tal på 7 (0,142857142857142857...)

Det 24. unikke primtal, som ikke er anført i tabellen, har 128 tegn og en periode på 320. Det kan skrives som (9 32 0 32 ) 2 + 1, hvor indekset n betyder n på hinanden følgende kopier af cifferet eller gruppen af cifre, der går forud for indekset.

Selvom unikke primtal er sjældne, er der en formodning baseret på studiet af enkeltcifrede primtal og muligvis primtal, at der er et uendeligt antal unikke primtal (enhver simpel genforening er unik).

Fra 2010 er repunit (10 270343 −1)/9, det størst mulige unikke primtal kendt. [en]

I 1996 var den største unikke primtal testet (10 1132 + 1)/10001, eller ved at bruge notationen ovenfor, (99990000) 141 + 1. Dens periode er 2264. Rekorden er siden blevet forbedret flere gange. I 2010 havde det største unikke primtal, der blev testet, 10.081 cifre. [2]

Links

Noter

  1. ↑ PRP Records: Probable Primes Top 10000 . Hentet 5. januar 2013. Arkiveret fra originalen 25. februar 2010.
  2. ↑ Top tyve unikke ; Chris Caldwell . Hentet 5. januar 2013. Arkiveret fra originalen 20. november 2020.