Drud teori

Drude-teorien er en klassisk beskrivelse af elektronernes bevægelse i metaller . Denne teori blev foreslået af den tyske fysiker Paul Drude 3 år efter opdagelsen af elektronen som en partikel - i 1900 . Det er kendetegnet ved enkelhed og klarhed, det forklarer godt Hall-effekten , specifik ledningsevne i jævn- og vekselstrøm og termisk ledningsevne i metaller, og er derfor stadig relevant i dag. Kan bruges til flere typer medier inklusive rumligt adskilte lag som i Coulomb træk .

Grundlæggende antagelser

Elektronerne i et metal behandles som en elektrongas, hvorpå den kinetiske teori om gasser kan anvendes . Det menes, at elektroner, ligesom gasatomer i kinetisk teori, er identiske faste kugler, der bevæger sig i lige linjer, indtil de kolliderer med hinanden. Det antages, at varigheden af en enkelt kollision er ubetydelig, og at ingen andre kræfter virker mellem molekylerne, bortset fra dem, der opstår i kollisionsøjeblikket. Da en elektron er en negativt ladet partikel, skal der for at overholde betingelsen om elektrisk neutralitet i et fast stof også være partikler af en anden art - positivt ladet. Drude foreslog, at den kompenserende positive ladning tilhører meget tungere partikler (ioner), som han anså for immobile. På Drudes tid var det ikke klart, hvorfor der er frie elektroner og positivt ladede ioner i metallet, og hvad disse ioner er. Kun kvanteteorien om faste stoffer kunne give svar på disse spørgsmål. For mange stoffer kan man dog blot antage, at elektrongassen består af ydre valenselektroner svagt bundet til kernen, som "frigøres" i metallet og får mulighed for at bevæge sig frit gennem metallet, mens atomkernerne med de elektronerne i de indre skaller (atomkerner) forbliver uændrede og spiller rollen som fikserede positive ioner i Drude-teorien.

På trods af det faktum, at tætheden af gassen af ledningselektroner er omkring 1000 gange større end tætheden af en klassisk gas ved normal temperatur og tryk, og på trods af tilstedeværelsen af stærke elektron-elektron- og elektron-ion-interaktioner i Drude-modellen, metoder kinetisk teori for neutrale fordærvede gasser.

Grundlæggende antagelser om Drude-teorien.

I intervallet mellem kollisioner tages der ikke højde for en elektrons interaktion med andre elektroner og ioner. Med andre ord antages det, at i fravær af eksterne elektromagnetiske felter, bevæger hver elektron sig med en konstant hastighed i en lige linje. Yderligere menes det, at i nærvær af eksterne felter, bevæger elektronen sig i overensstemmelse med Newtons love; i dette tilfælde tages kun påvirkningen af disse felter i betragtning, idet de komplekse yderligere felter, der genereres af andre elektroner og ioner, ignoreres. En tilnærmelse, der negligerer elektron-elektron-interaktionen mellem kollisioner, er kendt som den uafhængige elektrontilnærmelse. Følgelig kaldes den tilnærmelse, hvor elektron-ion-interaktionen negligeres, den frie elektron-tilnærmelse.
I Drude-modellen, som i den kinetiske teori, er kollisioner øjeblikkelige hændelser, der pludselig ændrer en elektrons hastighed. Drude associerede dem med det faktum, at elektroner preller af de uigennemtrængelige kerner af ioner (og anså dem ikke for at være elektron-elektron-kollisioner i analogi med den dominerende mekanisme for kollisioner i en almindelig gas).
Det antages, at elektronen pr. tidsenhed oplever en kollision (det vil sige en pludselig hastighedsændring) med en sandsynlighed lig med . Det betyder, at for en elektron er sandsynligheden for at opleve en kollision inden for et uendeligt lille tidsinterval simpelthen . Tiden kaldes afslapningstiden eller den frie stitid; det spiller en grundlæggende rolle i teorien om metallers ledningsevne. Det følger af denne antagelse, at en elektron valgt tilfældigt på det nuværende tidspunkt vil bevæge sig i gennemsnit i løbet af tiden før dens næste kollision og allerede har bevæget sig i gennemsnit i løbet af tiden siden den forrige kollision. I de enkleste applikationer mener Drude-modellerne, at afslapningstiden ikke afhænger af elektronens rumlige position og dens hastighed. ${1 \over \tau }$ $dt$ ${dt\over\tau}$ $\tau$ $\tau$ $\tau$ $\tau$
Det antages, at elektroner kommer i termisk ligevægt med deres miljø udelukkende på grund af kollisioner. Kollisioner menes at opretholde lokal termodynamisk ligevægt på en yderst enkel måde: en elektrons hastighed umiddelbart efter kollisionen er ikke relateret til dens hastighed før kollisionen, men er rettet tilfældigt, og dens værdi svarer til den temperatur, der hersker i området hvor kollisionen fandt sted. Derfor, jo varmere området er, hvor kollisionen opstår, jo større er elektronens hastighed efter kollisionen.

Drudes formel

Boltzmann kinetiske ligning i afslapningstidstilnærmelsen fører til Drude-formlen for elektrongassens ledningsevne:

{\displaystyle \sigma ={\frac {ne_{0}^{2}\tau }{m^{*))))

$\sigma$ — elektrisk ledningsevne
$n$ er elektronkoncentrationen _
$e_{0}$ - elementær ladning
$\tau$ - momentum afslapningstid ( den tid, hvor elektronen " glemmer " hvilken vej den bevægede sig)
$m^{{*}}$ er elektronens effektive masse

Nedenfor er udledningen af dette udtryk for det klassiske tilfælde uden at tage højde for det reelle spredningspotentiale. Denne formel er også anvendelig til elektron- og hulgas i halvledere (formlen kan skrives i en anden form for en degenereret elektron eller hulgas , hvor er diffusionskoefficienten for elektroner eller huller, og er tætheden af elektron- eller hultilstande , og alle fysiske mængder tages på Fermi-overfladen ). Tætheder af tilstande i en todimensionel leder $\sigma =e_{0}^{2}Dg$ $D$ $g$

g=g_{s}g_{v}{\frac {m^{*}}{2\pi \hbar ^{2}}}

hvor g s er spindegenerationen, g v er daldegenerationen, m * er den effektive masse og ikke afhænger af energien. g s = 2 og daldegeneration for GaAs g v = 1.

For strømbærere med en parabolsk spredningslov (energi måles fra bunden af ledningsbåndet)

E_{F}={\frac {mv_{F}^{2}}{2}}

hvor ν F er bærerhastigheden på Fermi-niveau, og g = n / EF , kan man få Drude -udtrykket for den todimensionelle elektrongas

\sigma =e_{0}^{2}D{\frac {n}{E_{F}}}={\frac {2e_{0}^{2}nD}{m^{*}v_ {F}^{2}}}={\frac {ne_{0}^{2}}{m^{*}}}{\frac {2D}{v_{F}^{2}}}={ \frac {ne_{0}^{2}}{m^{*}}}\tau

hvor den sidste ligning følger af elektrongassens degenerationstilstand og definitionen af diffusionskoefficienten.

Nogle formler

acceleration af en elektron mellem to kollisioner fra Newtons anden lov :

{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=-{\frac {e_{0}}{m}}\cdot {\vec E}

gennemsnitlig elektronhastighed :

{\overline {v}}=v_{d}=-{\frac {e_{0}\cdot E}{2m}}\cdot {\tau }

Det skal dog huskes, at den øjeblikkelige hastighed af en elektron i et metal kan være stor og bestemmes af Fermi-niveauet .

strømtæthed :

{\vec j}=-n\cdot e_{0}\cdot {\vec v}_{d}

Ohms lov :

{\vec {j}}={\frac {n\cdot e_{0}^{2}\cdot \tau }{2m}}\cdot {\vec {E}}=\sigma \cdot { \vec {E}}

mobilitet fra ladeselskabet :

\mu ={\frac {|{\vec {v}}_{d}|}{|{\vec {E}}|}}={\frac {e_{0}\cdot \tau } {2m}}

termisk energi af en elektron:

W_{{th}}=3{\frac {kT}{2}}

Grænser for anvendelighed

Ulemperne ved denne teori omfatter det faktum, at denne teori er fænomenologisk og bruger afslapningstiden, som skal opnås fra eksperimenter eller en dybere teori. Brugen af Boltzmann kinetiske ligning i afslapningstidstilnærmelsen begrænser også anvendeligheden af denne teori i området af det diskrete spektrum af strømbærere, det vil sige, den er kun anvendelig i den semiklassiske tilnærmelse og i stærke magnetiske felter (under dannelsen af Landau-niveauer ) eller med et lille antal tilstande ( resistenskvantisering ) kan ikke tilstrækkeligt beskrive fysiske fænomener. Også i den makroskopiske manifestation af kvanteeffekter, såsom fænomenet superledning . Selv i svage magnetfelter kan Drude-teorien miste sin anvendelighed på grund af fænomener, der kun opstår i kvantemekanik forbundet med interferens, for eksempel svag lokalisering , Aharonov-Bohm-effekten , universelle konduktanssvingninger . Derudover er selv stærk lokalisering (stærk lidelse), perkolationsteori (lav bærertæthed), hoppende ledning og ballistisk transport uden for denne teoris rammer.

Litteratur

N. Ashcroft, N. Mermin. Faststoffysik: I to bind / M.I. Kaganov. — M .: Mir, 1979.