Effektiv masse

Effektiv masse er en størrelse, der har massedimensionen og bruges til bekvemt at beskrive en partikels bevægelse i en krystals periodiske potentiale . Det kan påvises, at elektroner og huller i en krystal reagerer på et elektrisk felt , som om de bevæger sig frit i vakuum , men med en vis effektiv masse, som normalt bestemmes i enheder af elektronmassen (9,11 × 10 −31 kg ) . Den effektive masse af en elektron i en krystal ( ledningselektron ), generelt set, er forskellig fra massen af en elektron i vakuum og kan være enten positiv eller negativ [1] . $m_{0}$

Begrebet effektiv masse

Isotropisk variant

Hvis loven om spredning af elektroner i et bestemt krystallinsk stof er sådan (eller kan betragtes som sådan med acceptabel nøjagtighed), at energien kun afhænger af modulus af bølgevektoren , så er den effektive masse af en elektron per definition mængde [2] $E=E({\vec {k)))$ $E$ $k$

m^{*}=\hbar ^{2}/\left[{{d^{2}E} \over {dk^{2}}}\right]

hvor er Planck-Dirac konstanten . $\hbar$

Nogle gange er denne tilnærmelse af hensyn til radikal forenkling begrænset, som om en isotrop situation var den eneste mulige.

Fysisk betydning

Hastigheden af en elektron i en krystal er lig med gruppehastigheden af elektronbølger og er defineret som

v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{\hbar }}{\frac {dE}{dk}}

Her er frekvensen. Ved at differentiere med hensyn til tid bestemmer vi elektronaccelerationen: $\omega$ ${\displaystyle v_{g))$

a={\frac {dv_{g}}{dt}}={\frac {1}{\hbar }}{\frac {d^{2}E}{dk^{2}}}{ \frac {dk}{dt}}}

Den kraft, der virker på en elektron i en krystal er

F={\frac {dp}{dt}}=\hbar {\frac {dk}{dt}}

hvor er momentum. Fra de sidste to udtryk får vi $s$

a={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {d^{2}E}{dk^{2}}}F={\frac {F}{m^ {*}}}

hvorfra man kan se betydningen af størrelse som en slags "masse". $m^{{*}}$

Typisk adfærd

For en fri partikel er spredningsloven kvadratisk og dermed er den effektive masse konstant og lig med elektronens hvilemasse . $m_{0}$

I en krystal er situationen mere kompliceret, og spredningsloven adskiller sig fra en kvadratisk. Ikke desto mindre er spredningslovkurven nær dens yderpunkter ofte godt tilnærmet af en parabel - og så vil den effektive masse også være en konstant, dog forskellig fra . I dette tilfælde kan det vise sig at være både positivt (nær bunden af ledningsbåndet ) og negativt (nær toppen af valensbåndet ). $E({\vec {k)))$ $m^{*}$ $m_{0}$ $m^{*}$

Langt fra det ekstreme afhænger den effektive masse som regel stærkt af energi (ordlyden "afhænger af energi" er kun passende for det isotropiske tilfælde), og derefter ophører det med at arbejde med det med at bringe nogen bekvemmelighed. $E$

Masseanisotropi

I det generelle tilfælde afhænger den effektive masse af retningen i krystallen og er en tensor. Det er sædvanligt at tale om den omvendte effektive massetensor, dens komponenter findes fra spredningsloven [3] [4] : $E=E({\vec {k)))$

{\displaystyle \left({\frac {1}{m^{*}}}\right)_{i,j}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\ delvis ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j))))

hvor er bølgevektoren med projektioner , , på akserne af det kartesiske koordinatsystem. Tensornaturen af den effektive masse illustrerer det faktum, at i et krystalgitter bevæger en elektron sig som en kvasipartikel, hvis bevægelsesparametre afhænger af retningen i forhold til krystallens krystallografiske akser . I dette tilfælde afhænger værdierne ikke af energien, men af tilstanden angivet af vektoren . $\vec{k}$ $k_{x}$ ${\displaystyle k_{y))$ $k_{z}$ ${\displaystyle (1/m^{*})_{i,j))$ $\vec{k}$

Der er andre metoder til at beregne den effektive masse af en elektron i en krystal [5] .

Som i den isotropiske tilnærmelse er brugen af den omvendte effektive massetensor hovedsageligt begrænset til områder nær funktionens yderpunkter . Uden for disse områder - som for eksempel i tilfælde af at analysere adfærden af en population af varme elektroner - tages der direkte hensyn til afhængighederne , som er opstillet i tabelform. $E({\vec {k)))$ $E({\vec {k)))$

Værdi for nogle halvledere

De karakteristiske værdier af den effektive masse spænder fra fraktioner til enheder , oftest ca. $m_{0}$ $0,5m_{0}$

Tabellen viser [6] [7] den effektive masse af elektroner ( ) og huller ( ) for de vigtigste halvledere — simple stoffer i gruppe IV og binære forbindelser A III B V og A II B VI . Alle værdier er præsenteret i enheder af fri elektronmasse . $m_{e}^{*}$ $m_{h}^{*}$ $m_{0}$

Materiale	$m_{e}^{*}$	$m_{h}^{*}$
Gruppe IV
Si (4,2K)	1.08	0,56
Ge	0,55	0,37
A III B V
GaAs	0,067	0,45
InSb	0,013	0,6
A II B VI
ZnSe	0,17	1,44
ZnO	0,19	1,44

Dette sted angiver temperaturafhængigheden af den effektive masse for silicium.

Eksperimentel definition

Traditionelt er effektive bæremasser blevet målt ved hjælp af cyklotronresonansmetoden , som måler absorptionen af en halvleder i mikrobølgeområdet af spektret som en funktion af magnetfeltinduktion . Når mikrobølgefrekvensen er lig med cyklotronfrekvensen , observeres en skarp top i spektret ( -cyklotronmasse ) . I tilfælde af en kvadratisk isotrop spredningslov for ladningsbærere falder den effektive og cyklotronmassen sammen, . I de senere år er effektive masser normalt blevet bestemt ud fra båndstrukturmålinger ved hjælp af metoder såsom vinkelopløst fotoemission (ARPES) eller en mere direkte metode baseret på de Haas-van Alphen-effekten . $B$ $\omega _{c}={\frac {eB}{m_{c))},$ ${\displaystyle m_{c))$ $E({\overrightarrow {k)))=\hbar ^{2}k^{2}/2m^{*}$ $m_{c}=m^{*}$

De effektive masser kan også estimeres ved hjælp af koefficienten γ fra den lineære term for lavtemperatur elektronisk bidrag til varmekapaciteten ved konstant volumen.Varmekapaciteten afhænger af den effektive masse via tætheden af tilstande på Fermi niveauet . $c_v.$

Betydningen af effektiv masse

Som tabellen viser, har halvlederforbindelser A III B V , såsom GaAs og InSb, meget lavere effektive masser end halvledere fra den fjerde gruppe af det periodiske system - silicium og germanium. I den enkleste Drude-teori om elektrontransport, er afdriftshastigheden af bærere omvendt proportional med den effektive masse: hvor , er momentumrelaksationstiden , og er elektronladningen . Hastigheden af integrerede kredsløb afhænger af bærernes hastighed, og derfor er den lave effektive masse en af grundene til, at GaAs og andre gruppe A III B V halvledere bruges i stedet for silicium i applikationer med høj båndbredde . $\vec{v} = \begin{Vmatrix}\mu\end{Vmatrix} \cdot \vec{E},$ ${\begin{Vmatrix}\mu \end{Vmatrix}}={\frac {e\tau }{{\begin{Vmatrix}m^{*}\end{Vmatrix}}}}$ $\tau$ $e$

I tilfælde af overførsel af elektroner og huller gennem et tyndt halvleder- eller dielektrisk lag gennem tunneleffekten , påvirker den effektive masse i dette lag transmissionskoefficienten (et fald i massen fører til en stigning i transmissionskoefficienten) og som følge heraf nuværende.

Den effektive masse af tætheden af tilstande

Opførselen af tætheden af tilstande af elektroner og huller nær båndkanterne tilnærmes ved formlerne

\rho _{e}(E)=4\pi \left({\frac {2m_{dc}}{h^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E -E_{c}}},\qquad \rho _{h}(E)=4\pi \left({\frac {2m_{dv}}{h^{2}}}\right)^{3/ 2}{\sqrt {E_{v}-E}}

hvor og er energierne af kanterne af henholdsvis valensbåndet og ledningsbåndet, er Plancks konstant. De mængder, der er inkluderet her , kaldes de effektive masser af tætheden af stater. For en isotrop parabolsk spredningslov falder de sammen med de effektive masser (separat for elektroner og huller), og i mere komplekse anisotrope tilfælde findes de numerisk med gennemsnit over retninger. $E_{v}$ $E_{v}$ $h$ ${\displaystyle m_{dv))$ ${\displaystyle m_{dc))$ $m^{*}$

Generaliseringer

Begrebet effektiv masse i faststoffysik bruges ikke kun i forhold til elektroner og huller [3] . Det er generaliseret til andre kvasipartikler (typer af excitationer), såsom fononer , fotoner eller excitoner , med de samme formler til beregning (kun spredningslovene erstattes henholdsvis med fononer og så videre). Ikke desto mindre er den vigtigste anvendelse af udtrykket stadig netop kinetikken af elektroner og huller i krystaller.

Noter

↑ Epifanov, 1971 , s. 137.
↑ Epifanov, 1971 , s. 136.
↑ 1 2 Physical Encyclopedic Dictionary, artikel "Effective Mass" - M .: Soviet Encyclopedia. udg. A. M. Prokhorova. 1983.
↑ Askerov, BMElektrontransportfænomener i halvledere ,5. udg . - Singapore: World Scientific , 1994. - S. 416.
↑ Pekar S.I. Ledningselektroner i krystaller // Problems of Theoretical Physics. Samling dedikeret til Nikolai Nikolaevich Bogolyubov i forbindelse med hans 60-års fødselsdag. - M., Nauka , 1969. - Oplag 4000 eksemplarer. — c. 349-355
↑ Sze SM Fysik af halvlederenheder . - John Wiley & Sons, 1981. - (Wiley-Interscience publikation). — ISBN 9780471056614 .
↑ Harrison W. A. Elektronisk struktur og faste stoffers egenskaber: Fysikken bag den kemiske binding . - Dover Publications, 1989. - (Dover Books on Physics). — ISBN 9780486660219 .

Litteratur

Epifanov GI Fysisk grundlag for mikroelektronik. - M . : Sovjetisk radio, 1971. - 376 s.