Sekvensgrænse

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. september 2021; checks kræver 2 redigeringer .

I matematik er grænsen for en sekvens af elementer i et metrisk rum eller topologisk rum et element i det samme rum, der har egenskaben til at "tiltrække" elementer i en given sekvens. Grænsen for en sekvens af elementer i et topologisk rum er et sådant punkt, hvor hvert kvarter indeholder alle elementerne i sekvensen, startende fra et eller andet tal. I et metrisk rum er kvarterer defineret i form af en afstandsfunktion , så begrebet en grænse er formuleret i sproget afstande. Historisk set var den første begrebet grænsen for en numerisk sekvens , som opstår i matematisk analyse , hvor den tjener som grundlag for et system af tilnærmelser og er meget udbredt i konstruktionen af differential- og integralregning .

Betegnelse: $\lim_{n \to \infty} x_n = a$

(det lyder: grænsen for sekvensen x nth som en tendens til uendelig er a [1] [2] )

Egenskaben ved en sekvens til at have en grænse kaldes konvergens : hvis sekvensen har en grænse, så siger de, at den givne sekvens konvergerer ; ellers (hvis sekvensen ikke har nogen grænse) siges sekvensen at divergere . I et Hausdorff-rum og især et metrisk rum [3] konvergerer hver undersekvens af en konvergent sekvens, og dens grænse falder sammen med grænsen for den oprindelige sekvens. Med andre ord kan en sekvens af elementer i et Hausdorff-rum ikke have to forskellige grænser. Det kan dog vise sig, at sekvensen ikke har nogen grænse, men der er en undersekvens (af den givne sekvens), der har en grænse. Hvis en sekvens af punkter i et rum har en konvergent undersekvens, siges det givne rum at have egenskaben sekventiel kompakthed (eller blot kompakthed, hvis kompakthed udelukkende er defineret i form af sekvenser).

I topologiske rum, der opfylder det første aksiom for tællelighed , er begrebet grænsen for en sekvens direkte relateret til begrebet et grænsepunkt (mængde): hvis et sæt har et grænsepunkt, så er der en sekvens af elementer af dette sæt konvergerende til et givet punkt. For vilkårlige topologiske rum eksisterer en sådan sekvens muligvis ikke.

Definition

Lad et topologisk rum og en sekvens være givet Så, hvis der eksisterer et element sådan $T$ $\{x_{n}\}.$ $x\in T$

\forall {\text{ }}U(x){\text{ }}\eksisterer N:{\text{ }}\forall {\text{}}n{\text{}},n>N {\text{ }}\Rightarrow x_{n}\in U(x)

hvor er et åbent sæt indeholdende , så kaldes grænsen for sekvensen . Hvis rummet er metrisk , så kan grænsen defineres ved hjælp af en metrisk: hvis der findes et element , som $U(x)$ $x$ $x$ $x_n$ $x\in T$

\forall {\text{ }}\varepsilon >0{\text{ }}\eksisterer N:{\text{ }}\forall {\text{ }}n,n>N{\text{ }} \Højrepil d(x_{n},x)<\varepsilon

hvor er metrikken, så kaldes grænsen . $d(x,y)$ $x$ $x_n$

Eksempler

Hvis et rum er udstyret med en antidiskret topologi , så er grænsen for enhver sekvens ethvert element i rummet.

Variationer og generaliseringer

Grænsen for en vilkårlig undersekvens kaldes sekvensens partielle grænse .

Se også

Noter

↑ “Tegnet "lim" er de første tre bogstaver i det latinske ord limes - grænse, grænse; men det skal læses på russisk: "grænse" "( Khinchin A. Ya. Et kort kursus i matematisk analyse. - M . : GITTL , 1953. - S. 38. - 624 s. )
↑ "Denne post lyder sådan her:" grænsen ved at vende mod uendelighed er lig med "" ( Shipachev V.S. Fundamentals of Higher Mathematics / redigeret af akademiker A.N. Tikhonov . - M . : Higher School , 1989. - C 121. - 479 pp. . - ISBN 5-06-000048-6 . ) $x_{n}$ $n$ $-en$
↑ Hvert metrisk rum er automatisk også Hausdorff.