Arkimedes aksiom

Arkimedes' aksiom , eller Arkimedes ' princip , eller Arkimedes' egenskab er en matematisk sætning opkaldt efter den antikke græske matematiker Arkimedes . For første gang blev dette forslag formuleret af Eudoxus af Cnidus i hans teori om forhold mellem mængder (Eudoxus' kvantitetsbegreb dækker både tal og kontinuerlige mængder: segmenter , arealer , volumener [1] ):

Hvis der er to mængder, og , og mindre end , kan du ved at tage summandet nok gange overgå : $-en$ $b$ $-en$ $b$ $-en$ $b$

\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}>b.

For eksempel, for segmenter, lyder Arkimedes' aksiom sådan her: Hvis der er givet to segmenter, så kan du ved at lægge det mindste til side nok gange dække det større.

Udsagnet om Arkimedes' aksiom virker trivielt, men dets sande betydning ligger i fraværet af uendeligt små og/eller uendeligt store mængder . Så dette aksiom er ikke opfyldt i ikke-standardanalyse : sættet af hyperreelle tal indeholder uendeligt små og uendeligt store værdier. Sådanne elementer opfylder muligvis ikke Archimedes' aksiom. Andre eksempler er mulige .

Matematiske strukturer , som Archimedes-egenskaben gælder for, kaldes Archimedean , for eksempel Arkimedean-feltet og Archimedean-gruppen , og dem, som den ikke gælder, kaldes ikke-Archimedean .

Historie

Aksiomet , kendt i matematik som Archimedes' aksiom, blev faktisk først angivet af Eudoxus af Cnidus . Dette forslag spillede en nøglerolle i hans teori om relationer, som i det væsentlige var den første aksiomatiske teori om det reelle tal . Derfor kaldes det også Eudoxus aksiom .

Teorien om Eudoxus er kommet ned til os i udlægningen af Euklid ( The Beginnings , Bog V).

Værdier siges at være relateret til hinanden, hvis de taget i multipla kan overgå hinanden."Begyndelser", bog V, definition 4 [2]

Eudoxus-Archimedes aksiomet ligger til grund for den såkaldte "udmattelsesmetode" , opfundet af Eudoxus, en metode til at finde arealer af figurer, kropsvolumener, buelængder ved hjælp af en analog af de moderne Riemann- og Darboux -summer . Ved hjælp af sin metode beviste Eudoxus strengt adskillige teoremer om beregning af arealer og volumener. Imidlertid opnåede Archimedes de største resultater på dette område. Ved hjælp af Eudoxus-metoden fandt han en række nye områder og bind. På samme tid, da der i det antikke Grækenland ikke var noget begreb om sekvens , grænsen for sekvens , måtte Arkimedes gentage ræsonnementet på ny i hvert specifikt problem. Således formulerede og brugte Archimedes i sine skrifter Eudoxus-Archimedes-aksiomet. Samtidig understreger Arkimedes selv i indledningen til sin " Kvadratur af parablen ", at dette aksiom blev brugt af hans forgængere og spillede en væsentlig rolle i Eudoxus' værker [3] .

I matematisk analyse

Arkimedes' princip er ret vigtigt både teoretisk og med hensyn til specifik brug i målinger og beregninger [4] .

Baseret på fuldstændigheden af de reelle tal kræver Arkimedes princip generelt bevis, mens det med anden aksiomatik ofte er inkluderet i listen over aksiomer.

Formulering: (for hvert positivt reelt tal er der et naturligt tal, der er større end det) $\forall a\in \mathbb {R} :a>0\ \eksisterer n\i \mathbb {N} :n>a$

Bevis: Antag det modsatte , derfor er den øvre grænse. Ved kantsætningen , Vi vælger , Så , Men , For hvilke , Som modsiger eksistensen af , og dermed er ubegrænset fra oven, hvilket igen svarer til . H. t. d. $\forall n\in \mathbb {N} :n\leqslant a$ $-en$ $b=\sup \mathbb {N}$ $\exists k\in \mathbb {N} :k>b-1$ $k'=k+1:k'\in \mathbb {N}$ $k'>b$ $b$ $\mathbb {N}$ $\forall a\in \mathbb {R} \ \exists n\in \mathbb {N} :n>a$

Ved at gange med et bestemt normaliseringstal opnår vi i det væsentlige den ulighed, der er angivet i begyndelsen af artiklen. $a,n$

Moderne definition

En lineært ordnet gruppe

Lade være en lineært ordnet gruppe , og være positive elementer af . Et element siges at være uendeligt lille i forhold til elementet (a er uendeligt stort i forhold til ), hvis uligheden for et hvilket som helst naturligt tal er $G$ $-en$ $b$ $G$ $-en$ $b$ $b$ $-en$ $n$

\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}<b.

En gruppe kaldes Archimedean , hvis Arkimedes aksiom gælder for det: der er intet par af elementer i sådan, at - er uendeligt lille i forhold til . $G$ $G$ $-en$ $b$ $-en$ $b$

Ordnet felt

Lad være et ordnet felt . Da ethvert ordnet felt er en lineært ordnet gruppe, forbliver alle ovenstående definitioner af uendeligt små og uendeligt store elementer, såvel som formuleringen af Arkimedes' aksiom, gyldige. Der er dog en række specifikke træk her, på grund af hvilke formuleringen af Arkimedes' aksiom er forenklet. $K$

Lad være positive elementer af . $a,b$ $K$

et element er uendeligt i forhold til et element, hvis og kun hvis det er uendeligt i forhold til (sådanne elementer kaldes simpelthen infinitesimalt ) $-en$ $b$ $a/b$ $1\i K$
et element er uendeligt stort i forhold til et element, hvis og kun hvis det er uendeligt stort i forhold til (sådanne elementer kaldes simpelthen uendeligt stort ) $-en$ $b$ $a/b$ $1\i K$

Infinitesimale og infinitesimale elementer kombineres under navnet infinitesimale elementer .

Derfor er formuleringen af Arkimedes' aksiom forenklet: Et ordnet felt har Arkimedes-egenskaben, hvis det ikke indeholder uendeligt små elementer, eller tilsvarende, hvis det ikke indeholder uendeligt store elementer. Hvis vi her udvider definitionen af et uendeligt lille (eller uendeligt stort) element, får vi følgende formulering af Arkimedes' aksiom: $K$

For hvert feltelement er der et naturligt element sådan $-en$ $K$ $n$ $n>a$

Eller den tilsvarende formulering:

For hvert positivt element i feltet er der et naturligt element sådan $\varepsilon >0$ $n$ $1/n<\varepsilon$

Eksempler og modeksempler

Sættet af reelle tal

Det mest berømte eksempel på et arkimedisk felt er sættet af reelle tal . Hvis vi betragter mængden af reelle tal som en afslutning af mængden af rationelle tal (for eksempel ved hjælp af Dedekind-sektioner ), så følger Archimedes-egenskaben for reelle tal af, at rationelle tal har det. I et af systemerne af aksiomer for reelle tal, som blev foreslået af Hilbert [5] , er mængden af reelle tal defineret som det maksimale arkimedesk ordnede felt, det vil sige et ordnet felt, der opfylder Arkimedes aksiom (det vil sige gør ikke indeholder infinitesimale elementer), som ikke kan udvides til et større arkimedisk ordnet felt.

Ikke-arkimedisk ordnet felt

Som et eksempel (eller rettere et modeksempel) på et ordnet felt, som Arkimedes' aksiom ikke gælder for, kan du overveje sættet af rationelle funktioner med reelle koefficienter, det vil sige funktioner af formen

R(x)={\frac {a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+\ldots + b_{1}x+b_{0}}}.

Med hensyn til de sædvanlige operationer med addition og multiplikation danner dette sæt et felt . Vi introducerer en ordensrelation på sættet af rationelle funktioner som følger. Lad og være to rationelle funktioner. Vi siger, at hvis og kun hvis i nogle nabolag forskellen har et strengt positivt tegn. Denne betingelse kan også formuleres i form af koefficienterne for rationelle funktioner og . Vi skriver forskellen som et polynomium + egen rationel brøk: $f$ $g$ $f>g$ $+\infty$ $fg$ $f$ $g$ $fg$

f(x)-g(x)=c_{nm}x^{nm}+\ldots +c_{1}x+c_{0}+{\frac {d_{k}x^{k} +\ldots +d_{1}x+d_{0}}{x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots +b_{1}x+b_{0}} },

hvor det sidste led på højre side er en egentlig rationel brøk, dvs. tællerens grad er mindre end nævnerens grad :. Vi vil også antage, at den førende koefficient for nævneren er . Så hvis og kun hvis enten , eller polynomieldelen er fraværende og . Det er let at kontrollere rigtigheden af denne definition af ordren (det bør kontrolleres både, at den introducerede relation faktisk er en ordrerelation, og at denne relation er i overensstemmelse med feltoperationer). $k<m$ $b_{m}$ $en$ $f>g$ $c_{nm} > 0$ $d_k > 0$

Således danner sættet af rationelle funktioner et ordnet felt. Bemærk, at det er en udvidelse af feltet af reelle tal, men Arkimedes' aksiom holder ikke her (se slutningen af forrige afsnit). Overvej faktisk elementerne og . Det er klart, uanset det naturlige tal , finder uligheden sted: $en$ $x$ $n$

\underbrace {1+1+\ldots +1} _{n}=n\cdot 1<x.

Med andre ord, er et uendeligt stort element af feltet med hensyn til enhed. Således holder Arkimedes' aksiom ikke på dette felt. $x$

Se også

Noter

↑ Matematikkens historie / Ed. A.P. Yushkevich. - M . : Nauka, 2003. - T. 1. - S. 96.
↑ Euklid. Begyndelser / Oversættelse af D. D. Mordukhai-Boltovsky. - M. - L .: Hovedforlaget for teknisk og teoretisk litteratur, 1948. - T. 1.
↑ Bourbaki, N. Essays om matematikkens historie / Pr. I. G. Bashmakova, red. K. A. Rybnikova. - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1963. - S. 148.
↑ Zorich, V. A. Matematisk analyse, del 1. - Moskva: FAZIS, 1997. - S. 50. - 554 s. — ISBN 5-7036-0031-6 .
↑ Hilbert, D. Fundamenter af geometri. - M. - L .: Hovedforlaget for teknisk og teoretisk litteratur, 1948. - S. 87.

Litteratur

Matematikkens historie / Red. A.P. Yushkevich. - M . : "Nauka", 2003. - T. 1.
Euklid. Begyndelser / Oversættelse af D. D. Mordukhai-Boltovsky. - M. - L .: Hovedforlaget for teknisk og teoretisk litteratur, 1948. - T. 1.
Hilbert, D. Fundamenter for geometri. - M. - L .: Hovedforlaget for teknisk og teoretisk litteratur, 1948.
Bourbaki, N. Essays om matematikkens historie / Pr. I. G. Bashmakova, red. K. A. Rybnikova. - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1963.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk catalansk