Inversion af Laplace-integralet

Lad funktionen af en kompleks variabel opfylde følgende betingelser: $F$ $p=x+iy$

$F$ — analytisk på området $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$
i regionen på ensartet i forhold til $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $F\to 0$ $|p|\to +\infty$ $\arg p$
integralet konvergerer for alle $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $\int \limits _{xi\infty }^{x+i\infty }\!|F(p)|\,dy$

Så er funktionen for billedet af funktionen af den reelle variabel , som kan findes ved formlen $F$ $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $f$ $t$

f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{xi\infty }^{x+i\infty }\!e^{pt}F(p) \,dp,\quad x>a

Denne formel kaldes Mellin-formlen, og integralet kaldes Mellin-integralet (opkaldt efter den finske matematiker Hjalmar Mellin ). I mange tilfælde kan Mellin-integralet beregnes ved hjælp af rester . Nemlig, hvis en funktion defineret i domænet analytisk kan udvides til hele planet af en kompleks variabel med et endeligt antal ental punkter, og dens analytiske fortsættelse opfylder under betingelserne i Jordan-lemmaet , så $F$ $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n))$ $\mathop {\mathrm {Re} } \,p<a$

f(t)=\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {res} } _{p=p_{k))(e^{pt}F(p))

Se også

Første dekomponeringssætning
Anden dekomponeringssætning